行列式の展開

$n$ $n$ 次の行列式 $| A |$ $| A |$ について

$a_{1 k} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 k} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n k} {\tilde{a}}_{n j}$ $a_{1 k} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 k} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n k} {\tilde{a}}_{n j}$ $= \{\begin{matrix} |A| & (k = j) & \dots (1) \\ 0 & (k \neq j) & \dots (2) \end{matrix}$ $= \{\begin{matrix} |A| & (k = j) & \dots (1) \\ 0 & (k \neq j) & \dots (2) \end{matrix}$

$a_{k 1} {\tilde{a}}_{i 1} + a_{k 2} {\tilde{a}}_{i 2} + \dots + a_{k n} {\tilde{a}}_{i n}$ $a_{k 1} {\tilde{a}}_{i 1} + a_{k 2} {\tilde{a}}_{i 2} + \dots + a_{k n} {\tilde{a}}_{i n}$ $= \{\begin{matrix} |A| & (k = i) & \dots (3) \\ 0 & (k \neq i) & \dots (4) \end{matrix}$ $= \{\begin{matrix} |A| & (k = i) & \dots (3) \\ 0 & (k \neq i) & \dots (4) \end{matrix}$

が成り立つ．

ただし， $a_{i j}$ $a_{i j}$ は $n$ $n$ 次の正方行列 $A$ $A$ の成分で， ${\tilde{a}}_{i j}$ ${\tilde{a}}_{i j}$ は成分 $a_{i j}$ $a_{i j}$ の余因子である.

(1)を行列式 $| A |$ $| A |$ の $j$ $j$ 列での展開式とい，この展開する操作を $j$ $j$ 列で余因子展開するという．

(3)を行列式 $| A |$ $| A |$ の $i$ $i$ 行での展開式とい，この展開する操作を $i$ $i$ 行で余因子展開するという．

■導出

● $k = j$ $k = j$ の場合

＊ $j \neq 1$ $j \neq 1$ の時

$|A| = | \begin{matrix} \dots & a_{1 j - 2} & a_{1 j - 1} & a_{1 j} & \dots \\ \dots & a_{2 j - 2} & a_{2 j - 1} & a_{2 j} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \dots & a_{n j - 2} & a_{n j - 1} & a_{n j} & \dots \end{matrix} |$ $|A| = | \begin{matrix} \dots & a_{1 j - 2} & a_{1 j - 1} & a_{1 j} & \dots \\ \dots & a_{2 j - 2} & a_{2 j - 1} & a_{2 j} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \dots & a_{n j - 2} & a_{n j - 1} & a_{n j} & \dots \end{matrix} |$

$j - 1$ $j - 1$ 列とｊ列を入れ換える．行列の符号が変わることに注意する．

$= - | \begin{matrix} \dots & a_{1 j - 2} & a_{1 j} & a_{1 j - 1} & \dots \\ \dots & a_{2 j - 2} & a_{2 j} & a_{2 j - 1} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \dots & a_{n j - 2} & a_{n j} & a_{n j - 1} & \dots \end{matrix} |$ $= - | \begin{matrix} \dots & a_{1 j - 2} & a_{1 j} & a_{1 j - 1} & \dots \\ \dots & a_{2 j - 2} & a_{2 j} & a_{2 j - 1} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \dots & a_{n j - 2} & a_{n j} & a_{n j - 1} & \dots \end{matrix} |$

$j - 2$ $j - 2$ 列と $j - 1$ $j - 1$ 列を入れ換える．行列の符号が変わることに注意する．

$= {(- 1)}^{2} | \begin{matrix} \dots & a_{1 j} & a_{1 j - 2} & a_{1 j - 1} & \dots \\ \dots & a_{2 j} & a_{2 j - 2} & a_{2 j - 1} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \dots & a_{n j} & a_{n j - 2} & a_{n j - 1} & \dots \end{matrix} |$ $= {(- 1)}^{2} | \begin{matrix} \dots & a_{1 j} & a_{1 j - 2} & a_{1 j - 1} & \dots \\ \dots & a_{2 j} & a_{2 j - 2} & a_{2 j - 1} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \dots & a_{n j} & a_{n j - 2} & a_{n j - 1} & \dots \end{matrix} |$

　　　 $⋮$ $⋮$ 　　　 $(\begin{matrix} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ ⋮ \\ a_{n j} \end{matrix})$ $(\begin{matrix} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ ⋮ \\ a_{n j} \end{matrix})$ が第1列にくるまで同様に隣の列と入れ換えを繰り返す．

$= {(- 1)}^{j - 1} | \begin{matrix} a_{1 j} & a_{11} & a_{1 j - 1} & a_{1 j + 1} & \dots \\ a_{2 j} & a_{21} & a_{2 j - 1} & a_{2 j + 1} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n j} & a_{n 1} & a_{n j - 1} & a_{n j + 1} & \dots \end{matrix} |$ $= {(- 1)}^{j - 1} | \begin{matrix} a_{1 j} & a_{11} & a_{1 j - 1} & a_{1 j + 1} & \dots \\ a_{2 j} & a_{21} & a_{2 j - 1} & a_{2 j + 1} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n j} & a_{n 1} & a_{n j - 1} & a_{n j + 1} & \dots \end{matrix} |$

＊ $j = 1$ $j = 1$ の時は上の操作は不要である．

$= {(- 1)}^{j - 1} | \begin{matrix} a_{1 j} + 0 & a_{11} & \dots \\ 0 + a_{2 j} & a_{21} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 + a_{n j} & a_{n 1} & \dots \end{matrix} |$ $= {(- 1)}^{j - 1} | \begin{matrix} a_{1 j} + 0 & a_{11} & \dots \\ 0 + a_{2 j} & a_{21} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 + a_{n j} & a_{n 1} & \dots \end{matrix} |$

$= {(- 1)}^{j - 1} \{| \begin{matrix} a_{1 j} & a_{11} & \dots \\ 0 & a_{21} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & a_{11} & \dots \\ a_{2 j} & a_{21} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n j} & a_{n 1} & \dots \end{matrix} |\}$ $= {(- 1)}^{j - 1} \{| \begin{matrix} a_{1 j} & a_{11} & \dots \\ 0 & a_{21} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & a_{11} & \dots \\ a_{2 j} & a_{21} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n j} & a_{n 1} & \dots \end{matrix} |\}$

同様にして

$= {(- 1)}^{j - 1} \{| \begin{matrix} a_{1 j} & a_{11} & \dots \\ 0 & a_{12} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & a_{11} & \dots \\ a_{2 j} & a_{12} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & a_{11} & \dots \\ 0 & a_{12} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n j} & a_{n 1} & \dots \end{matrix} |\}$ $= {(- 1)}^{j - 1} \{| \begin{matrix} a_{1 j} & a_{11} & \dots \\ 0 & a_{12} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & a_{11} & \dots \\ a_{2 j} & a_{12} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & a_{11} & \dots \\ 0 & a_{12} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n j} & a_{n 1} & \dots \end{matrix} |\}$

第2番目以降の行列式について，第2番目の行列式の第2行を第1行に移動させるため隣接する行との入れ換えを繰り返すと

$= {(- 1)}^{j - 1} \{| \begin{matrix} a_{1 j} & a_{11} & \dots \\ 0 & a_{21} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + {(- 1)}^{1} | \begin{matrix} a_{2 j} & a_{21} & \dots \\ 0 & a_{11} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + \dots + {(- 1)}^{n - 1} | \begin{matrix} a_{n j} & a_{n 1} & \dots \\ 0 & a_{11} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n - 11} & \dots \end{matrix} |\}$ $= {(- 1)}^{j - 1} \{| \begin{matrix} a_{1 j} & a_{11} & \dots \\ 0 & a_{21} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + {(- 1)}^{1} | \begin{matrix} a_{2 j} & a_{21} & \dots \\ 0 & a_{11} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + \dots + {(- 1)}^{n - 1} | \begin{matrix} a_{n j} & a_{n 1} & \dots \\ 0 & a_{11} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n - 11} & \dots \end{matrix} |\}$

$= {(- 1)}^{j - 1} \{| \begin{matrix} a_{1 j} & a_{11} & \dots \\ 0 & a_{21} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + {(- 1)}^{1} | \begin{matrix} a_{2 j} & a_{21} & \dots \\ 0 & a_{11} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + \dots + {(- 1)}^{j + n - 2} | \begin{matrix} a_{n j} & a_{n 1} & \dots \\ 0 & a_{11} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n - 11} & \dots \end{matrix} |\}$ $= {(- 1)}^{j - 1} \{| \begin{matrix} a_{1 j} & a_{11} & \dots \\ 0 & a_{21} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + {(- 1)}^{1} | \begin{matrix} a_{2 j} & a_{21} & \dots \\ 0 & a_{11} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n 1} & \dots \end{matrix} | + \dots + {(- 1)}^{j + n - 2} | \begin{matrix} a_{n j} & a_{n 1} & \dots \\ 0 & a_{11} & \dots \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n - 11} & \dots \end{matrix} |\}$

$= {(- 1)}^{j - 1} a_{1 j} \{| \begin{matrix} a_{21} & \dots & a_{2 j - 1} & a_{2 j + 1} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & \dots & a_{3 j - 1} & a_{3 j + 1} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j - 1} & a_{n j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ $= {(- 1)}^{j - 1} a_{1 j} \{| \begin{matrix} a_{21} & \dots & a_{2 j - 1} & a_{2 j + 1} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & \dots & a_{3 j - 1} & a_{3 j + 1} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j - 1} & a_{n j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ $+ {(- 1)}^{j} a_{2 j} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j - 1} & a_{1 j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{31} & \dots & a_{3 j - 1} & a_{3 j + 1} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j - 1} & a_{n j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ $+ {(- 1)}^{j} a_{2 j} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j - 1} & a_{1 j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{31} & \dots & a_{3 j - 1} & a_{3 j + 1} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j - 1} & a_{n j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ $+ {(- 1)}^{j + i - 2} a_{i j} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j - 1} & a_{1 j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{i - 11} & \dots & a_{i - 1 j - 1} & a_{i - 1 j + 1} & \dots & a_{i - 11} \\ a_{i + 11} & a_{i + 1 j - 1} & a_{i + 1 j + 1} & a_{i + 1 j + 1} \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j - 1} & a_{n j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ $+ {(- 1)}^{j + i - 2} a_{i j} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j - 1} & a_{1 j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{i - 11} & \dots & a_{i - 1 j - 1} & a_{i - 1 j + 1} & \dots & a_{i - 11} \\ a_{i + 11} & a_{i + 1 j - 1} & a_{i + 1 j + 1} & a_{i + 1 j + 1} \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j - 1} & a_{n j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ $+ \dots + {(- 1)}^{j + n - 2} a_{n j} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j - 1} & a_{1 j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{n - 11} & \dots & a_{n - 1 j - 1} & a_{n - 1 j + 1} & \dots & a_{n - 1 n} \end{matrix} |\}$ $+ \dots + {(- 1)}^{j + n - 2} a_{n j} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j - 1} & a_{1 j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{n - 11} & \dots & a_{n - 1 j - 1} & a_{n - 1 j + 1} & \dots & a_{n - 1 n} \end{matrix} |\}$

${(- 1)}^{j + i - 2} = {(- 1)}^{j + 1} \cdot {(- 1)}^{- 2} = {(- 1)}^{j + i}$ ${(- 1)}^{j + i - 2} = {(- 1)}^{j + 1} \cdot {(- 1)}^{- 2} = {(- 1)}^{j + i}$ より

$= a_{1 j} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 j} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j}$ $= a_{1 j} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 j} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j}$ となる．

すなわち

$|\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{21} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n m} \end{matrix}|$ $|\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{21} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n m} \end{matrix}|$ $= a_{1 j} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 j} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j}$ $= a_{1 j} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 j} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j}$

この式を行列式 $| A |$ $| A |$ の $j$ $j$ 列での展開式という．

このように行列式 $| A |$ $| A |$ を行列 $A$ $A$ の成分とその余因子の積の和にすることを余因子展開するともいう．

● $k \neq j$ $k \neq j$ の場合

$a_{1 k} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 k} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j}$ $a_{1 k} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 k} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j}$ $= | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 k} & \dots & a_{1 j - 1} a_{1 k} a_{1 j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 j - 1} a_{2 k} a_{2 j + 1} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n j - 1} a_{n k} a_{n j + 1} & \dots & a_{n m} \end{matrix} |$ $= | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 k} & \dots & a_{1 j - 1} a_{1 k} a_{1 j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 j - 1} a_{2 k} a_{2 j + 1} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n j - 1} a_{n k} a_{n j + 1} & \dots & a_{n m} \end{matrix} |$

となり，第 $k$ $k$ 列の成分と第 $j$ $j$ 列の成分が等しくなる．

よってこの性質より

$a_{1 k} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 k} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j} = 0$ $a_{1 k} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 k} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j} = 0$

となる．

２つ目の式の証明は1つ目の式の証明の行の操作と列の操作を入れ換えて同様に証明することができる．

$| A | = |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}|$ $| A | = |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}|$ $= a_{k 1} {\tilde{a}}_{k 1} + a_{k 2} {\tilde{a}}_{k 2} + \dots + a_{k n} {\tilde{a}}_{k n}$ $= a_{k 1} {\tilde{a}}_{k 1} + a_{k 2} {\tilde{a}}_{k 2} + \dots + a_{k n} {\tilde{a}}_{k n}$

を行列式 $| A |$ $| A |$ のk行での展開式という．

■具体例

例1 第1行で展開した場合

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} |$ $| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} |$

$= 1 \times {(- 1)}^{1 + 1} |\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}| + 2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}|$ $= 1 \times {(- 1)}^{1 + 1} |\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}| + 2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}|$ $+ 3 \times {(- 1)}^{1 + 3} |\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}|$ $+ 3 \times {(- 1)}^{1 + 3} |\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}|$

$= 1 \times (6 - 1) - 2 \times (4 - 3)$ $= 1 \times (6 - 1) - 2 \times (4 - 3)$ $+ 3 \times (2 - 9)$ $+ 3 \times (2 - 9)$

$= 5 - 2 - 21$ $= 5 - 2 - 21$

$= - 18$ $= - 18$

例2　第1列で展開した場合

$| \begin{matrix} 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \\ 6 & 4 & 5 \end{matrix} |$ $| \begin{matrix} 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \\ 6 & 4 & 5 \end{matrix} |$

$= 4 \times {(- 1)}^{1 + 1} |\begin{matrix} 6 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix}| + 5 \times {(- 1)}^{2 + 1} |\begin{matrix} 5 & 6 \\ 4 & 5 \end{matrix}|$ $= 4 \times {(- 1)}^{1 + 1} |\begin{matrix} 6 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix}| + 5 \times {(- 1)}^{2 + 1} |\begin{matrix} 5 & 6 \\ 4 & 5 \end{matrix}|$ $+ 6 \times {(- 1)}^{3 + 1} |\begin{matrix} 5 & 6 \\ 6 & 4 \end{matrix}|$ $+ 6 \times {(- 1)}^{3 + 1} |\begin{matrix} 5 & 6 \\ 6 & 4 \end{matrix}|$

$= 4 \times (30 - 16) - 5 \times (25 - 24)$ $= 4 \times (30 - 16) - 5 \times (25 - 24)$ $+ 6 \times (20 - 36)$ $+ 6 \times (20 - 36)$

$= 56 - 5 - 96$ $= 56 - 5 - 96$

$= - 45$ $= - 45$

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最終更新日： 2022年8月27日

行列式の展開

■導出

●k=jk=j<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mi>k</mi><mo>=</mo><mi>j</mi></mrow> </mstyle></math> の場合

●k≠jk≠j<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="true"> <mi>k</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi> </mstyle></math> の場合

■具体例

例1 第1行で展開した場合

例2 第1列で展開した場合

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● $k = j$ $k = j$ の場合

● $k \neq j$ $k \neq j$ の場合

例2　第1列で展開した場合