線形写像の合成

2つの線形写像 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ，${\displaystyle g:Y\to Z}$ がある．

${\displaystyle X}$ は${\displaystyle l}$次元ベクトル空間，${\displaystyle Y}$は${\displaystyle m}$次元ベクトル空間，${\displaystyle Z}$は${\displaystyle n}$次元ベクトル空間である．
${\displaystyle X}$ の要素${\displaystyle x}$は${\displaystyle f}$により${\displaystyle Y}$の要素${\displaystyle y}$に対応し，${\displaystyle Y}$の要素 ${\displaystyle y}$は${\displaystyle g}$により${\displaystyle Z}$の要素${\displaystyle z}$に対応する．
${\displaystyle f}$と${\displaystyle g}$の線形写像を続けて行うことにより，${\displaystyle X}$の要素${\displaystyle x}$は${\displaystyle Z}$の要素${\displaystyle z}$に対応する．
このように2つの写像を連続して行う対応を写像の合成といい，合成された写像(合成写像)を${\displaystyle h}$とすると

${\displaystyle h=g\circ f}$

で表す．合成写像の概念を図で表すと下図のようになる．

  

線形写像${\displaystyle f}$ の表現行列を ${\displaystyle A}$，線形写像${\displaystyle g}$の表現行列を ${\displaystyle B}$とすると，
合成された写像も線形写像となり，その表現行列は${\displaystyle BA}$ となる．

■導出

${\displaystyle y=f\left(x\right)=Ax}$　･･････(1)

${\displaystyle z=g\left(y\right)=By}$　･･････(2)

(2)に(1)を代入すると，言い換えると，写像を合成すると，

${\displaystyle z}$${\displaystyle =g\left(f\left(x\right)\right)}$

${\displaystyle =g\left(Ax\right)}$

${\displaystyle =B\left(Ax\right)}$

${\displaystyle =\left(BA\right)x}$   (∵行列の計算則)

すなわち

${\displaystyle z=\left(BA\right)x}$

となる．${\displaystyle h}$ を使って表すと

${\displaystyle z=h\left(x\right)}$

となる．よって，合成された写像も線形写像となり，その表現行列は${\displaystyle BA}$ となる．(${\displaystyle AB}$でないことに注意 )

 

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最終更新日： 2025年1月20日