線形写像

$m$ $m$ 次元ベクトル空間 $X$ $X$ の要素 $x$ $x$

$x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{matrix})$ $x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{matrix})$

に対して， $n \times m$ $n \times m$ 行列である $A$ $A$

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix})$ $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix})$

を $x$ $x$ の右からかけて， $n$ $n$ 次元ベクトル空間 $Y$ $Y$ の要素 $y$ $y$

$y = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix})$ $y = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix})$

に対応させる写像 $f$ $f$ を線形写像という．

すなわち

$f (x) = A x$ $f (x) = A x$

となる．

行列 $A$ $A$ のことを線形写像 $f$ $f$ の表現行列という．

写像 $f$ $f$ が線形写像である， $f (x) = A x$ $f (x) = A x$ となる，ための必要十分条件は， $x_{1}$ $x_{1}$ ， $x_{2}$ $x_{2}$ が $X$ $X$ の要素で， $k$ $k$ がスカラーであるとき

(1) $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$

(2) $f (k x) = k f (x)$ $f (k x) = k f (x)$

の2式を満たすことである． ⇒ 証明

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最終更新日： 2025年1月17日