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基底 (basis)

基底の説明図

ベクトル空間 V r 個のベクトルの組 { v1 , v2 , , vr } 1次独立(線形独立)で, V 部分空間 W を張るとき, { v1 , v2 , , vr } W 基底 (basis) という. W の任意のベクトルは基底 { v1 , v2 , , vr } 1次結合として一意に表せる.

a = a1 v1 + a2 v2 ++ ar vr W      ( a1 , a2 ,, ar R )

基底 { v1 , v2 , , vr } の個々のベクトルの大きさが 1 で,互いに直交する場合,つまり

| vi | =1
vi vj =0   (ij)

のとき,この基底を 正規直交基底 (orthonormal basis) という.

例えば, n 次元実ベクトル空間 Rn 基本ベクトル { e1 , e2 , , en } は1次独立であり, Rn を張っているので, Rn の基底となっている.さらに,個々のベクトルは大きさ 1 で互いに直交するので正規直交基底である.


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最終更新日:2022年5月20日

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