期待値の求め方

期待値とはある試行を行ったとき，その結果として得られる数値の平均値のことである．すなわち，試行によって得られる数値 $X$ が $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ であり，それぞれの値をとる確率が $p_{1}, p_{2}, p_{3}, \dots, p_{n}$ とすると， $X$ の期待値は

期待値 $= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + x_{3} \cdot p_{3} + \dots + x_{n} \cdot p_{n}$

となる．

■事例による説明

数字1のカードが1枚，数字2のカードが2枚，数字3のカードが3枚，数字4のカードが4枚，合計10枚のカードがあります．10枚のカードの中から1枚カードを引いて，出た数値の100倍の金額をもらえるとします．すなわち，3のカードがでれば300円もらえるとします．10枚のカードの中から1枚カードを引いた時，もらえる金額の期待値を求めなさい．

まず，それぞれの数字がでる確率を求めます．そのあと，右のような確率分布表を作成して期待値を計算する．

期待値

$= 100 \cdot \frac{1}{10} + 200 \cdot \frac{2}{10} + 300 \cdot \frac{3}{10} + 400 \cdot \frac{4}{10}$

$= 10 + 40 + 90 + 160$

$= 300$

期待値は300円になります．

また，次のように考えることもできる．

カードの引き方が同様に確からしいとすると，10回カードを引くとすべてのカードを1回ずつ引くことになる．すると，
   1のカードを引いて100円もらえるのが1回
   2のカードを引いて200円もらえるのが2回
   3のカードを引いて300円もらえるのが3回
   4のカードを引いて400円もらえるのが4回
となる．1回引いてもらえる金額の平均は

$(100 \times 1 + 200 \times 2 + 300 \times 3 + 400 \times 4) \div 10 = 300$

となり，期待値300円が求まる．

しかし，期待値の計算では前者の方を使うことにする．

期待値計算表
カードの数値	1	2	3	4	合計
そのカードを引く確率　 $p$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{4}{10}$	1
もらえる金額　 $X$ （円）	100	200	300	400	-
$X \times p$	10	40	90	160	300

期待値計算表の中から $X$ と $p$ を抜き出した表を確率分布表といいます．

確率分布表
金額　 $X$ （円）	100	200	300	400
確率　 $p$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{4}{10}$

$X$ のことを確率変数と呼びます．

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最終更新日： 2025年4月22日