2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ の解き方

■解の公式による解き方

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ( $b^{2} - 4 a c ≧ 0$ の場合，判別式を参照)

■因数分解による解き方

まず下に示すように因数分解する（ここを参照）．

$a x^{2} + b x + c = 0$ → $(p x + q) (r x + s) = 0$

これより，答えは

$x = - \frac{q}{p}, - \frac{s}{r}$

■考え方

2次方程式

$a x^{2} + b x + c = 0$ ･･････(1)

は2次関数

$y = a x^{2} + b x + c$ ･･････(2)

において $y$ の値が $0$ の場合に相当する．これをグラフで示すと，方程式(1)を満たす $x$ の値は，グラフ $y = a x^{2} + b x + c$ の $x$ 軸上の点に対応する．すなわち，方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解 $x$ は， $y = a x^{2} + b x + c$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標の値と考えることができる．2次方程式(1)の解を $α, β$ とすると，(1)は因数定理と $x^{2}$ の係数が $a$ より，

$a (x - α) (x - β) = 0$ ･･････(3)

と書きかえることができる．(3)式を展開すると，

$\begin{array}{l} a (x - α) (x - β) \\ = a x^{2} - a (α + β) x + a α β \end{array}$ ･･････(4)

となる．(1)と(4)の係数を比較すると

$α + β = - \frac{b}{a}$ ･･････(5)

$α β = \frac{c}{a}$ ･･････(6)

の関係が得られる．これを解と係数の関係という．

(1)を(3)のように書き直すことができれば，2次方程式の解を求めることができる．

(1)を(3)のように書き直すと（式の変形はここを参照）

$a (x + \frac{b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (x + \frac{b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) = 0$ ･･････(7)

となる．よって，2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解は

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ･･････(8)

となる．(8)は2次方程式の解の公式である．

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最終更新日： 2024年6月21日