2次関数の平方完成

2次関数を一般形から下記のように変形（平方完成）すると2次関数をよく把握することができる．

$y = a x^{2} + b x + c$

まず， $x^{2}$ の係数 $a$ で $x^{2}$ の項と $x$ の項をくくる．

$= a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$

次に， ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$ の項を作るために（乗法の公式 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ を参照），（　）の中に $x$ の係数を2で割り更に2乗した数 ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ を加え，差し引き0になるように，（　）の中で ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ を引く．

$= a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}} + c$

$= a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - a {(\frac{b}{2 a})}^{2} + c$

最後に，式を整理する．

$= a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c$

$= a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

この2次関数の軸は $x = - \frac{b}{2 a}$ で，頂点の座標は $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})$ である．

■具体例

$y = x^{2} + 2 x + 3$ ⇒ ここ
$y = x^{2} - 3 x + 9$ ⇒ ここ
$y = 2 x^{2} + 5 x + 7$ ⇒ ここ
$y = 5 x^{2} - 8 x + 12$ ⇒ ここ

■関連動画

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>>2次関数の平方完成

最終更新日 2026年9月18日