2次関数の平方完成

2次関数を一般形から下記のように変形（平方完成）すると2次関数をよく把握することができる．

$y = a x^{2} + b x + c$ $y = a x^{2} + b x + c$

まず， $x^{2}$ $x^{2}$ の係数 $a$ $a$ で $x^{2}$ $x^{2}$ の項と $x$ $x$ の項をくくる．

$= a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$ $= a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$

次に， ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$ ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$ の項を作るために（乗法の公式 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ を参照），（　）の中に $x$ $x$ の係数を2で割り更に2乗した数 ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ を加え，差し引き0になるように，（　）の中で ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ を引く．

$\begin{array}{l} = a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}} + c \\ = a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - a {(\frac{b}{2 a})}^{2} + c \end{array}$ $\begin{array}{l} = a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}} + c \\ = a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - a {(\frac{b}{2 a})}^{2} + c \end{array}$

最後に，式を整理する．

$\begin{array}{l} = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} \end{array}$ $\begin{array}{l} = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} \end{array}$

この2次関数の軸は $x = - \frac{b}{2 a}$ $x = - \frac{b}{2 a}$ で，頂点の座標は $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})$ $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})$ である．

平方完成の具体例

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最終更新日 2024年5月17日

2次関数の平方完成

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