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不等式と領域

■1次関数と不等式

不等式 y > a x + b を満たす点 ( x , y ) の集合の領域は, xy 座標平面に描かれた直線 y = a x + b より y の値が大きくなっている領域(直線より上の領域)になる(図の黄色の領域).

不等式 y<ax+b を満たす点 (x,y) の集合の領域は, xy 座標平面に描かれた直線 y = a x + b より y の値が小さくなっている領域(直線より下の領域)になる(図の青色の領域).

fxと不等式

不等式 y>f x を満たす点 (x,y) の集合の領域は, xy 座標平面に描かれた曲線 y=f x より y の値が大きくなっている領域(曲線より上の領域)になる(図の黄色の領域).

不等式 y<f x を満たす点 (x,y) の集合の領域は, xy 座標平面に描かれた曲線 y=f x より y の値が小さくなっている領域(曲線より下の領域)になる(図の青色の領域).

■円と不等式

不等式 x 2 + y 2 > r 2 を満たす点 (x,y) の集合の領域は, xy 座標平面に描かれた x 2 + y 2 = r 2 より外側の領域になる(図の黄色の領域).

不等式 x 2 + y 2 < r 2 を満たす点 (x,y) の集合の領域は, xy 座標平面に描かれた x 2 + y 2 = r 2 より内側の領域になる(図の青色の領域).

■一般化

上記で取り扱った不等式を以下のように書き変える.

y>ax+b  ⇒  y ax+b >0

y<ax+b  ⇒  y ax+b <0

y>f x  ⇒  yf x >0

y<f x  ⇒  yf x <0

x 2 + y 2 > r 2  ⇒  x 2 + y 2 r 2 >0

x 2 + y 2 < r 2  ⇒  x 2 + y 2 r 2 <0

不等式の左辺の関数を一般化するとxyの2変数関数 f x,y を用いて表現することができきる.

f x,y =0 で表される 陰関数 の曲線が領域の境界線となり

不等式 f x,y >0 を満たす点 x,y の集合の領域を f x,y 正領域

不等式 f x,y <0 を満たす点 x,y の集合の領域を f x,y 負領域

という.

 

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最終更新日: 2024年6月20日

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