三平方の定理（ピタゴラスの定理）

∠ACB＝90°となる直角三角形ABCにおいて，各辺の長さを，${\displaystyle \text{BC}=a}$，${\displaystyle \text{CA}=b}$ ，${\displaystyle \text{AB}=c}$ とすると，

${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$  

の関係が成り立つ．この関係を三平方の定理あるいはピタゴラスの定理という．

■証明

△ABCにおいて，辺BCを一辺と知る正方形CBDEを描き，同じく辺ACを一辺とする正方形ACGHを下図の左側のように描く．直線EDと直線GHの交点をFとし，直線FGと直線ABの交点をIとする．

まず，直線ABと直線IFの関係を調べる．

四角形CEFGは長方形で，${\displaystyle \text{CE}=a}$，${\displaystyle \text{EF}=b}$，∠CEF＝90°となる．

よって，

△FCE≡△ABC　（∵2辺とその間の角が等しい）

次に，∠AICについて考える．

∠ECF＝∠ICA　（∵対角は等しい），∠ECF=∠CBA　（△FCE≡△ABC）より，

∠ICA＝∠CBA

よって，

△ABC∽△ACI　（∵2角が等しい）

以上より，

∠AIC＝90°

次に，面積が保たれる変形を繰り返すことにより，定理を証明する．

正方形BCEDの面積＝平行四辺形BCFJの面積　（∵BC共通で高さが同じ）　・・・・・・(1)

正方形ACGHの面積＝平行四辺形ACFKの面積　（∵AC共通で高さが同じ）　・・・・・・(2)

さらに，

平行四辺形BCFJの面積＝長方形BILJの面積　（∵BJ共通で高さが同じ）　　・・・・・・(3)

平行四辺形ACFKの面積＝長方形AILKの面積　（∵AK共通で高さが同じ）　　・・・・・・(4)

(1)，(2)，(3)，(4)より，

四角形ABJKの面積＝正方形BCEDの面積＋正方形ACGHの面積　・・・・・・(5)

一方，

JD＝FE＝AC，BD＝BC，∠ACB＝∠JDB＝90°より△ABC≡△JBD

よって，

JB＝AB＝ｃ

となり，

四角形ABJKは正方形　・・・・・・(6)

となる．(5)，(6)より，

正方形ABJKの面積＝正方形BCEDの面積＋正方形ACGHの面積

となる．すなわち，

${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$  

となる．

三平方の定理の証明は，この他にもいろいろな方法がる．

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最終更新日： 2016年3月2日