2次曲線の標準化の定理1の証明

行列 ${\displaystyle A}$ の固有方程式

${\displaystyle |A-\lambda E|=\left|\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\ b& c-\lambda \end{array}\right|}$
${\displaystyle \phantom{|A-\lambda E|}=(a-\lambda )(c-\lambda )-b^2}$
${\displaystyle \phantom{|A-\lambda E|}={\lambda }^2-(a+c)\lambda +ac-b^2}$
${\displaystyle \phantom{|A-\lambda E|}={\lambda }^2-(a+c)\lambda +\Delta =0}$     ······ 

より，${\displaystyle \Delta \ne 0}$ のときに ${\displaystyle A}$ は ゼロでない 2つの固有値 ${\displaystyle {\lambda }_1}$ , ${\displaystyle {\lambda }_2}$ をもつ．それらに対応する大きさ ${\displaystyle 1}$ の固有ベクトル ${\displaystyle {\mathit{p}}_1}$ , ${\displaystyle {\mathit{p}}_2}$ から得られる直交行列 ${\displaystyle P=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{p}}_1& {\mathit{p}}_2\end{array}\right)}$ により， ${\displaystyle A}$ は

${\displaystyle D={}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)}$     ······ 

と対角化される．行列 ${\displaystyle A}$ と列ベクトル ${\displaystyle \mathit{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$ を用いて，式を

${\displaystyle u(\mathit{x})={}^t\mathit{x}A\mathit{x}+2\left(\begin{array}{cc}d& e\end{array}\right)\mathit{x}+f=0}$     ······ 

と表すと，直交変換 ${\displaystyle \mathit{x}=P\mathit{X}=P\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)}$ により，式の右辺第1項の2次形式は

${\displaystyle {}^t\mathit{x}A\mathit{x}={}^t\left(P\mathit{X}\right)A\left(P\mathit{X}\right)}$
${\displaystyle \phantom{{}^t\mathit{x}A\mathit{x}}={}^t\mathit{X}{}^{t}PAP\mathit{X}}$
${\displaystyle \phantom{{}^t\mathit{x}A\mathit{x}}={}^t\mathit{X}D\mathit{X}}$
${\displaystyle \phantom{{}^t\mathit{x}A\mathit{x}}={\lambda }_1{X}^2+{\lambda }_2{Y}^2}$     ······ 

となる（2次形式の標準化）．このように，異なる2つの変数の積が消えるように式を標準化すると， ${\displaystyle {\lambda }_1}$ , ${\displaystyle {\lambda }_2}$ はゼロはないので， ${\displaystyle X^2}$ と ${\displaystyle Y^2}$ の項が必ず存在し，楕円か双曲線の標準形に帰着する．したがって， ${\displaystyle \Delta \ne 0}$ のとき，式の2次曲線には（退化する場合も含めて）中心点が存在し，有心であることがわかる．

次に，式の ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ の1次の項を消去するために，以下の平行移動

${\displaystyle \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x-x_0\\ y^{\prime }=y-y_0\end{array}}$     ······ 

を考える．これは点 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$ が原点となるようにグラフを平行移動することに対応する． ${\displaystyle x_0}$ , ${\displaystyle y_0}$ を求めるため

${\displaystyle \{\begin{array}{c}x=x^{\prime }+x_0\\ y=y^{\prime }+y_0\end{array}}$     ······ 

を式に代入すると

となり， ${\displaystyle x^{\prime }}$ , ${\displaystyle y^{\prime }}$ の1次の項が消えるためには，それらの係数が

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a{x}_0+b{y}_0+d=0\\ b{x}_0+c{y}_0+e=0\end{array}}$     ······ 

でなければならない．上式を行列表示すると

${\displaystyle A\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}d\\ e\end{array}\right)}$     ······ 

となる． ${\displaystyle \Delta \ne 0}$ より， ${\displaystyle A}$ の逆行列が存在し， ${\displaystyle x_0}$ , ${\displaystyle y_0}$ は

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=-A^{-1}\left(\begin{array}{c}d\\ e\end{array}\right)}$     ······ 

と求まる．これにより，列ベクトル ${\displaystyle {\mathit{x}}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)}$ を用いて，式は

${\displaystyle {}^t{\mathit{x}}^{\prime }A{\mathit{x}}^{\prime }+u(x_0,y_0)=0}$     ······ 

という 2次形式 ${\displaystyle {}^t{\mathit{x}}^{\prime }A{\mathit{x}}^{\prime }}$ ${\displaystyle +}$ 定数項 ${\displaystyle u(x_0,y_0)}$ の形で表せる．また，このようにして求めた点 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$ は，2次曲線（楕円・放物線）の中心点となっており，この平行移動によって中心点が原点に移動する．

次に，平行移動した点 ${\displaystyle {\mathit{x}}^{\prime }}$ に対して，直交行列 ${\displaystyle P}$ による直交変換

${\displaystyle \mathit{X}={}^{t}P{\mathit{x}}^{\prime }}$     ······ 

を考える． ${\displaystyle {\mathit{x}}^{\prime }=P\mathit{X}}$ を式に代入すると

となり，式の標準形が得られる（ ${\displaystyle D={}^{t}PAP}$ は式の対角行列 ）．また，

${\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\Delta }\left(\begin{array}{cc}c& -b\\ -b& a\end{array}\right)}$     ······ 

および，式より

となるので，式と見比べると

${\displaystyle u(x_0,y_0)=\frac{\tilde{\Delta }}{\Delta }}$     ······ 

であることがわかる．

有心（ ${\displaystyle \Delta \ne 0}$ ）である2次曲線の中心点 ${\displaystyle (x_0{y}_0)}$ が原点となるように平行移動【手順 2】した後，行列 ${\displaystyle A}$ を対角化する直交行列 ${\displaystyle P}$ によって直交変換【手順 3】させる座標変換

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)={}^{t}P\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)}$     ······ 

により，式は標準形

${\displaystyle {\lambda }_1{X}^2+{\lambda }_2{Y}^2+u(x_0,y_0)=0}$     ······ 

に変換できる．ここで， ${\displaystyle {\lambda }_1}$ , ${\displaystyle {\lambda }_2}$ は行列 ${\displaystyle A}$ のゼロでない固有値である．

${\displaystyle A}$ の固有値に対応する固有ベクトルから成る直交行列 ${\displaystyle P}$ は固有ベクトルの符号の取り方で任意性をもつが， ${\displaystyle \left|P\right|=1}$ となるように

${\displaystyle P=\left(\begin{array}{cc}{p}_1& -p_2\\ p_2& p_1\end{array}\right)}$     ······ 

のようにとると， ${\displaystyle P}$ による直交変換を回転移動に対応付けることができる（ ${\displaystyle \left|P\right|=-1}$ のときは軸に関する対称移動を伴う）．

したがって，幾何学的に考えると，2次曲線の標準化とは，平行移動と回転移動により， ${\displaystyle xy}$ 座標系から ${\displaystyle XY}$ 座標系に軸を取り直して，式を見通しの良い形にすることである．

※ 上記手順では平行移動してから直交変換（回転移動）しているが，直交変換してから平行移動しても構わない．その際の座標変換は

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)={}^{t}P\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{X}_0\\ Y_0\end{array}\right)}$ ${\displaystyle ={}^{t}P\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)-{}^{t}P\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)}$

であり，実質，式と同じである．

平行移動と直交変換を表す式を書き直すと

式   ⇒    ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)}$     ······ 

となり，これを同次座標を用いたアフィン変換で表すと

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}P& \begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& 0\end{array}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\\ 1\end{array}\right)}$     ······ 

のように，直交変換と平行移動をまとめて1次変換のように表すことができる．このとき列ベクトルの3番目の成分は必ず ${\displaystyle 1}$ となる．上式右辺の3次正方行列を

${\displaystyle \tilde{P}=\left(\begin{array}{cc}P& \begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& 0\end{array}& 1\end{array}\right)}$     ······ 

とおくことにする．このアフィン変換の表現を用いると，式は

${\displaystyle u(x,y)=(\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array})\left(\begin{array}{ccc}a& b& d\\ b& c& e\\ d& e& f\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)}$ ${\displaystyle =(\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array})\tilde{A}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=0}$     ······ 

と表すことができるため，1次の項や定数項を含めて，あたかも2次形式の行列表示のように表記できる．ここで， ${\displaystyle {}^t\tilde{P}\tilde{A}\tilde{P}}$ を計算すると

である（上式の最終行では式を用いた）．したがって，式に式を代入し，式を用いると，

を得る．このように同次座標の表現を用いると平行移動を含めて1次変換として扱えるので，式展開がスッキリする．

ただし， ${\displaystyle \tilde{P}}$ は直交行列ではないので， ${\displaystyle {}^t\tilde{P}\tilde{P}\ne E}$ ， ${\displaystyle \tilde{P}{}^t\tilde{P}\ne E}$ である．ちなみに， ${\displaystyle |\tilde{P}|=|P|=\pm 1}$ なので， ${\displaystyle \left|{}^t\tilde{P}\tilde{A}\tilde{P}\right|=|\tilde{A}|=\tilde{\Delta }}$ であり，行列 ${\displaystyle \tilde{P}}$ によるアフィン変換で判別式は不変である．実際，式より

${\displaystyle \left|{}^t\tilde{P}\tilde{A}\tilde{P}\right|=|D|\cdot u(x_0,y_0)}$ ${\displaystyle =\Delta \cdot \frac{\tilde{\Delta }}{\Delta }=\tilde{\Delta }}$     ······ 

である．