2次曲線 (quadratic curve)

式(1)の係数の値によっては，式(1)は直線や点として表されることがあり，それらの特別な場合の図形を退化2次曲線（または退化円錐）(degenerate conic) という．これらは，円錐を，円錐の頂点を通る平面で切断したときの切り口に現れる図形に相当する．

• ${\displaystyle \Delta >0}$ の特別な場合：
  式(1) ⇒   ${\displaystyle {\left(\frac{x-x_0}{\alpha }\right)}^2+{\left(\frac{y-y_0}{\beta }\right)}^2=0}$   ( ${\displaystyle \alpha \ne 0}$, ${\displaystyle \beta \ne 0}$ )   ${\displaystyle \iff }$   点 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$


• ${\displaystyle \Delta <0}$ の特別な場合：
  式(1) ⇒   ${\displaystyle {\left(\frac{x-x_0}{\alpha }\right)}^2-{\left(\frac{y-y_0}{\beta }\right)}^2=0}$   ( ${\displaystyle \alpha \ne 0}$, ${\displaystyle \beta \ne 0}$ )   ${\displaystyle \iff }$ 平行でない2直線（交点 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$ ）


• ${\displaystyle \Delta =0}$ の特別な場合：
  式(1) ⇒   ${\displaystyle {(x-x_0)}^2-{\alpha }^2=0}$   または   ${\displaystyle {(y-y_0)}^2-{\beta }^2=0}$
     ${\displaystyle \iff }$ 平行な2直線（ ${\displaystyle \alpha =0}$ または ${\displaystyle \beta =0}$ のときは重なった１つの直線）

退化2次曲線に対して，楕円・双曲線・放物線のいずれかに分類される2次曲線を非退化2次曲線（または非退化円錐）(non-degenerate conic) といい，一般に，2次曲線は非退化2次曲線のことを指す．

実数の範囲において，式(1)を満たす解 ${\displaystyle (x,y)}$ が存在しないこともある． ${\displaystyle \Delta >0}$ のとき

式(1) ⇒   ${\displaystyle {\left(\frac{x-x_0}{\alpha }\right)}^2+{\left(\frac{y-y_0}{\beta }\right)}^2+{\gamma }^2=0}$   ( ${\displaystyle \alpha \ne 0}$, ${\displaystyle \beta \ne 0}$, ${\displaystyle \gamma \ne 0}$ )

となる場合や，${\displaystyle \Delta =0}$ のとき

式(1) ⇒   ${\displaystyle {(x-x_0)}^2+{\alpha }^2=0}$   ( ${\displaystyle \alpha \ne 0}$ )  または   ${\displaystyle {(y-y_0)}^2+{\beta }^2=0}$   ( ${\displaystyle \beta \ne 0}$ )

となる場合であり，これらの場合は実平面上で図形が描けない．