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極限 n→∞　x^n

$n$は自然数とする．

• ${\displaystyle 1<x}$のとき，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=+\infty }$　･･････(1)
• ${\displaystyle x=1}$のとき，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=1}$　･･････(2)
• ${\displaystyle -1<x<1}$のとき，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=0}$　･･････(3)
• ${\displaystyle x\leqq -1}$のとき，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=}$振動する　･･････(4)

■証明

●${\displaystyle 1<x}$のとき

$x=1+y$，$y>0$とおく．二項定理より

${\displaystyle x^n={\left(1+y\right)}^n}$

$={}_{n}C_0{1}^n\cdot y^0+{}_{n}C_1{1}^{n-1}\cdot y^1+{}_{n}C_2{1}^{n-2}\cdot y^2+\cdot \cdot \cdot +{}_{n}C_n{1}^0\cdot y^n$

${\displaystyle =1+ny+\frac{n\left(n-1\right)}{2}+\cdots +y^n}$

${\displaystyle >1+ny}$

となる．

$y$は$y>0$のある値であるため

$n\to \infty$のとき，$ny\to \infty$

したがって

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n>\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+ny\right)=\infty }$

ゆえに

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=\infty }$

となる．

●$x=1$のとき

$1^n=1$より

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=1}$

となる．

●$-1<x<1$のとき

${\displaystyle x=\frac{1}{z}}$ とおく．

$\left|z\right|>1$より

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{\left|z\right|}^n=\infty }$

となる．よって

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{\left|x\right|}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|\frac{1}{z}\right|}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{{\left|z\right|}^n}=0}$

したがって

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=0}$

となる．

●${\displaystyle x\leqq -1}$ のとき

$x^n={\left(-1\right)}^n\left|x^n\right|$

よって，$n$の値が1増すごとに$x^n$の符号が入れかわる．

したがって

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=}$振動する

ことになる．

 

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最終更新日 2024年2月9日

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