余弦定理

三角形の各辺 $a$ , $b$ , $c$ と各角 $A$ , $B$ , $C$ の間には以下に示す関係がある．

$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A \\ b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos C \end{array}$

この関係を余弦定理という．

■証明

三角形の頂点 $C$ から辺 $AB$ に垂線 $CD$ を引く．
直角三角形 $ACD$ と直角三角形 $BCD$ ができる．
直角三角形 $BCD$ に三平方の定理を用いると

${CB}^{2} = {CD}^{2} + {BD}^{2}$ ･･････(1)

となる．

$CB = a$ ， $CD = b sin A$ (⇒ここを参照)， $BD = c - b cos A$ の関係を(1)に代入すると

$\begin{array}{l} a^{2} = {(b sin A)}^{2} + {(c - b cos A)}^{2} \\ = b^{2} {sin}^{2} A + c^{2} - 2 c b cos A + b^{2} {cos}^{2} A \\ = b^{2} ({sin}^{2} A + {cos}^{2} A) + c^{2} - 2 c b cos A \\ = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A \\ ∴ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A \end{array}$

が求められる．

$A = 90 °$ ，鈍角の場合の証明は省略

同様にして，

$\begin{matrix} b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos C \end{matrix}$

も求められる．

■内積を用いた証明

図より(図を理解するには内積の幾何学的検討のページが参考になる)

$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ 　･･････(2)

両辺のベクトルの大きさも等しくなるので

$|\vec{c}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ 　･･････(3)

(3)の両辺を2乗する．

${|\vec{c}|}^{2} = {|\vec{a} - \vec{b}|}^{2}$ 　･･････(4)

内積の計算則を使って，(4)の右辺を以下のように式変形をする．

${|\vec{c}|}^{2} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

$= (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} + (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (- \vec{b})$

$= (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} - (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$

$= {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos θ$

ここで

$|\vec{a}| = a$ ， $|\vec{b}| = b$ ， $|\vec{c}| = c$ とおくと

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos θ$

となり，余弦定理が導かれた．

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最終更新日： 2023年10月26日