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${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}$を置換積分で計算（ただし，$a>0$）

■$x+\sqrt{x^2+a^2}=t$とおく場合

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1+\frac{1}{2}{\left(x^2+a^2\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x}$${\displaystyle =1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{\sqrt{x^2+a^2}}}$

より

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}+x}dt}$

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{t}dt}$

以上より，積分変数を$x$ から$t$ に置換すると

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$  

となり，積分を進めると

${\displaystyle x+\sqrt{x^2+a^2}=t>0}$ より

${\displaystyle =\log t+C}$　($C$ は積分定数)

${\displaystyle =\log \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C}$

■${\displaystyle x=a\tan \theta }$ とおく場合

ただし，${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$である．

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=\frac{a}{{\cos }^2\theta }\to dx=\frac{a}{{\cos }^2\theta }d\theta }$

よって，積分変数を$x$ から$t$ に置換すると

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}$${\displaystyle =\int \frac{1}{\sqrt{{\left(a\tan \theta \right)}^2+a^2}}\cdot \frac{a}{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle =\int \frac{1}{a\sqrt{{\tan }^2\theta +1}}\cdot \frac{a}{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle {\tan }^2\theta +1=\frac{1}{{\cos }^2\theta }}$ より

${\displaystyle =\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\theta }}}\cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$ の範囲では，${\displaystyle \cos \theta >0}$ となり，${\displaystyle \sqrt{{\cos }^2\theta }=\cos \theta }$ である．よって

${\displaystyle =\int \frac{1}{\frac{1}{\cos \theta }}\cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle =\int \frac{1}{\cos \theta }d\theta }$

ここを参照すると

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin \theta }{1-\sin \theta }\cdot \frac{1+\sin \theta }{1+\sin \theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{{\left(1+\sin \theta \right)}^2}{1-{\sin }^2\theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{{\left(1+\sin \theta \right)}^2}{{\cos }^2\theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\log {\left(\frac{{\left(1+\sin \theta \right)}^2}{{\cos }^2\theta }\right)}^{\frac{1}{2}}+C}$

${\displaystyle =\log \left(\frac{1+\sin \theta }{\cos \theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(\frac{1}{\cos \theta }+\tan \theta \right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(\sqrt{{\tan }^2\theta +1}+\tan \theta \right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(\sqrt{{\left(\frac{x}{a}\right)}^2+1}+\frac{x}{a}\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(\frac{1}{a}\left(\sqrt{x^2+a^2}+x\right)\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(\sqrt{x^2+a^2}+x\right)+\log \left(\frac{1}{a}\right)+C}$

${\displaystyle \log \left(\frac{1}{a}\right)+C}$ を改めて$C$とする．

${\displaystyle =\log \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C}$

 

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最終更新日： 2025年9月5日

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