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ウォリス積分

この積分は，下図の赤の領域の面積を求めていることになる．
積分区間が0から${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ でない場合は，周期性，対称性に注意して適用すること．

■計算例

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{5}xdx}$ ${\displaystyle =\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1}$ ${\displaystyle =\frac{8}{15}}$

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{6}xdx}$ ${\displaystyle =\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}}$ ${\displaystyle =\frac{5\pi }{32}}$

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{cos}^{4}xdx}$${\displaystyle =4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{cos}^{4}xdx}$${\displaystyle =4·\frac{3}{4}·\frac{1}{2}·\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}}$  

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{cos}^{3}xdx}$${\displaystyle =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{cos}^{3}xdx=2·\frac{2}{3}·1=\frac{4}{3}}$  

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{sin}^{3}xdx}$${\displaystyle =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{3}xdx=2·\frac{2}{3}·1=\frac{4}{3}}$  

■式の導出

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{n}xdx=I_n}$  

とおく．部分積分によって

となる．よって，漸化式

${\displaystyle \begin{array}{l}{I}_n=\left(n-1\right)I_{n-2}-\left(n-1\right)I_n\\ I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}\end{array}}$  

が得られる．

${\displaystyle I_0={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx=\frac{\pi }{2}}$　，${\displaystyle I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}sinxdx={\left[-cosx\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=1}$  

であるので

${\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}}$ 　　（n が偶数の場合）

${\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}\cdot 1}$ 　　（n が奇数の場合）

となる．次に

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{cos}^{n}xdx}$ 　を求める． 

${\displaystyle sinx=cos\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}$   なので，置換積分を使って ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{n}xdx}$   の結果を利用する．

${\displaystyle \frac{\pi }{2}-x=t}$  ${\displaystyle \left(\frac{dt}{dx}=-1\to dx=-dt\right)}$ とおくと，${\displaystyle x=0\to t=\frac{\pi }{2}}$，${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}\to t=0}$ となるので

と計算できる．

定積分であるので，積分変数を $t$ から $x$ に書き換えても積分の値は変わらない．

と計算できる．よって

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}tdt={{\displaystyle \int }}_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx}$

となる．したがって

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx={{\displaystyle \int }}_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx}$

となる．  

 

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最終更新日： 2024年8月19日

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