積分　1/(cosx )^3 

${\displaystyle \int \frac{1}{{cos}^{3}x}dx}$

${\displaystyle \int \frac{1}{{cos}^{3}x}dx}$ ${\displaystyle =\int \frac{cosx}{{cos}^{4}x}dx}$ ${\displaystyle =\int \frac{cosx}{{\left(1-{sin}^{2}x\right)}^2}dx}$   （∵ ${\displaystyle {cos}^{2}x=1-{sin}^{2}x}$ ）　

${\displaystyle sinx=t}$  とおいて置換積分を行う．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=cosx\to cosxdx=dt}$ 

よって

部分積分を用いた解法

${\displaystyle \int \frac{1}{{cos}^{3}x}dx}$${\displaystyle =\int \frac{1}{{cos}^{2}x}\cdot \frac{1}{cosx}dx}$

${\displaystyle =\left(tanx\right)\frac{1}{cosx}-\int \left(tanx\right)\frac{sinx}{{cos}^{2}x}dx}$

${\displaystyle =\frac{sinx}{{cos}^{2}x}-\int \frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{3}x}dx}$

${\displaystyle =\frac{sinx}{{cos}^{2}x}-\int \frac{1-{cos}^{2}x}{{cos}^{3}x}dx}$

${\displaystyle =\frac{sinx}{{cos}^{2}x}-\int \frac{1}{{cos}^{3}x}dx+\int \frac{1}{cosx}dx}$

これより

${\displaystyle \int \frac{1}{{cos}^{3}x}dx}$ について整理すると

また

${\displaystyle \int \frac{1}{cosx}dx=\frac{1}{2}log\left(\frac{1+sinx}{1-sinx}\right)}$   （積分定数は省略している．計算はここを参照）

以上より（積分定数C を付け加えると）

　

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最終更新日：2023年1月30日