∫ 1 cos 3 x d x
∫ f sin x cos x d x = ∫ f t d t の形になるように式変形する．
∫ 1 cos 3 x d x = ∫ cos x cos 4 x d x = ∫ cos x ( 1 − sin 2 x ) 2 d x （∵ cos 2 x = 1 − sin 2 x ）
sin x = t とおいて置換積分を行う．
d t d x = cos x → cos x d x = d t
よって
与式 = ∫ 1 ( 1 − t 2 ) 2 d t
= ∫ 1 ( 1 + t ) 2 ( 1 − t ) 2 d t
= ∫ 1 4 { 1 ( 1 + t ) 2 + 1 1 + t + 1 ( 1 − t ) 2 + 1 1 − t } d t
（部分分数に分解する）
= 1 4 { − 1 1 + t + log | 1 + t | + 1 1 − t − log 1 − t } + C
= 1 4 { − ( 1 − t ) + ( 1 + t ) ( 1 + t ) ( 1 − t ) + log 1 + t 1 − t } + C
= 1 4 { 2 t ( 1 + t ) ( 1 − t ) + log 1 + t 1 − t } + C
= 1 2 ⋅ t 1 − t 2 + 1 4 log | 1 + t 1 − t | + C
= 1 2 ⋅ sin x 1 − sin 2 x + 1 4 log | 1 + sin x 1 − sin x | + C
= 1 2 ⋅ sin x cos 2 x + 1 4 log ( 1 + sin x 1 − sin x ) + C
部分積分を用いた解法
∫ 1 cos 3 x d x = ∫ 1 cos 2 x ⋅ 1 cos x d x
= ( tan x ) 1 cos x − ∫ ( tan x ) sin x cos 2 x d x
= sin x cos 2 x − ∫ sin 2 x cos 3 x d x
= sin x cos 2 x − ∫ 1 − cos 2 x cos 3 x d x
= sin x cos 2 x − ∫ 1 cos 3 x d x + ∫ 1 cos x d x
これより
∫ 1 cos 3 x d x = sin x cos 2 x − ∫ 1 cos 3 x d x + ∫ 1 cos x d x
∫ 1 cos 3 x d x について整理すると
∫ 1 cos 3 x d x = 1 2 ( sin x cos 2 x + ∫ 1 cos x d x )
また
∫ 1 cos x d x = 1 2 log ( 1 + sin x 1 − sin x ) （積分定数は省略している．計算はここを参照）
以上より（積分定数 C を付け加えると）
∫ 1 cos 3 x d x = 1 2 ⋅ sin x cos 2 x + 1 4 log ( 1 + sin x 1 − sin x ) + C
ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の具体事例>>積分 1/(cosx)^3
最終更新日：2026年10月23日
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