曲線の長さ

媒介変数表示された曲線 $x = u (t)$ $x = u (t)$ ， $y = v (t)$ $y = v (t)$ 　 $(α ≦ t ≦ β)$ $(α ≦ t ≦ β)$ の長さ $s$ $s$ は

$s = \int_{α}^{β} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t$ $s = \int_{α}^{β} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t$ $= \int_{α}^{β} \sqrt{{\{u^{'} (t)\}}^{2} + {\{v^{'} (t)\}}^{2}} d t$ $= \int_{α}^{β} \sqrt{{\{u^{'} (t)\}}^{2} + {\{v^{'} (t)\}}^{2}} d t$

曲線 $y = f (x)$ $y = f (x)$ ， $(a ≦ x ≦ b)$ $(a ≦ x ≦ b)$ の長さ $s$ $s$ は

$s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x$ $s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x$ $= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {\{f^{'} (x)\}}^{2}} d x$ $= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {\{f^{'} (x)\}}^{2}} d x$

となる．ただし， $a = u (α)$ $a = u (α)$ ， $b = u (β)$ $b = u (β)$ である．

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■導出

関数 $u (t)$ $u (t)$ ， $v (t)$ $v (t)$ は閉区間 $[α, β]$ $[α, β]$ で定義されている．この区間 $[α, β]$ $[α, β]$ を $α = t_{0} < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n - 1} < t_{n} = β$ $α = t_{0} < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n - 1} < t_{n} = β$ となる $t_{i} (i = 0, 1, 2, \dots, n)$ $t_{i} (i = 0, 1, 2, \dots, n)$ で $n$ $n$ 個の区間に分割する． $A = (u (α), v (α))$ $A = (u (α), v (α))$ ， $B = (u (β), v (β))$ $B = (u (β), v (β))$ ， $T_{i} = (u (t_{i}), v (t_{i}))$ $T_{i} = (u (t_{i}), v (t_{i}))$ とすると， $T_{i}$ $T_{i}$ は曲線 $AB$ $AB$ 上にある．（右図参照）線分 $T_{i - 1} T_{i}$ $T_{i - 1} T_{i}$ の長さ $Δ s_{i}$ $Δ s_{i}$ は， $x_{i} = u (t_{i})$ $x_{i} = u (t_{i})$ ， $y_{i} = v (t_{i})$ $y_{i} = v (t_{i})$ ， $Δ x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}$ $Δ x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}$ ， $Δ y_{i} = y_{i} - y_{i - 1}$ $Δ y_{i} = y_{i} - y_{i - 1}$ ， $Δ t_{i} = t_{i} - t_{i - 1}$ $Δ t_{i} = t_{i} - t_{i - 1}$ とすると

$Δ s_{i}$ $Δ s_{i}$ $= \sqrt{{(Δ x_{i})}^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}}$ $= \sqrt{{(Δ x_{i})}^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}}$

$= \sqrt{{(\frac{Δ x_{i}}{Δ t_{i}})}^{2} + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ t_{i}})}^{2}} Δ t_{i}$ $= \sqrt{{(\frac{Δ x_{i}}{Δ t_{i}})}^{2} + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ t_{i}})}^{2}} Δ t_{i}$

曲線 $AB$ $AB$ の長さは，和の極限としての定積分の考え方より

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{{(\frac{Δ x_{i}}{Δ t_{i}})}^{2} + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ t_{i}})}^{2}} Δ t_{i}$ $\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{{(\frac{Δ x_{i}}{Δ t_{i}})}^{2} + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ t_{i}})}^{2}} Δ t_{i}$ $= \int_{α}^{β} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t$ $= \int_{α}^{β} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t$

$= \int_{α}^{β} \sqrt{{\{u^{'} (t)\}}^{2} + {\{v^{'} (t)\}}^{2}} d t$ $= \int_{α}^{β} \sqrt{{\{u^{'} (t)\}}^{2} + {\{v^{'} (t)\}}^{2}} d t$

となる．一方

$Δ s_{i}$ $Δ s_{i}$ $= \sqrt{{(Δ x_{i})}^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}}$ $= \sqrt{{(Δ x_{i})}^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}}$ $= \sqrt{1 + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ x_{i}})}^{2}} Δ x_{i}$ $= \sqrt{1 + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ x_{i}})}^{2}} Δ x_{i}$

と考えると，曲線 $AB$ $AB$ $(a ≦ x ≦ b)$ $(a ≦ x ≦ b)$ の長さは

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ x_{i}})}^{2}} Δ x_{i}$ $\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ x_{i}})}^{2}} Δ x_{i}$ $= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x$ $= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x$

$= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {\{f^{'} (x)\}}^{2}} d x$ $= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {\{f^{'} (x)\}}^{2}} d x$

となりる．

以上より，公式が導かれる．（区分求積法を参考する）

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最終更新日： 2024年5月17日

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