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曲線の長さ 

媒介変数表示された曲線 x=u(t)y=v(t) (αtβ) の長さs

s=βα(dxdt)2+(dydt)2dt=βα{u(t)}2+{v(t)}2dt

曲線 y=f(x)(axb) の長さs

s=ba1+(dydx)2dx=ba1+{f(x)}2dx

となる.ただし,a=u(α)b=u(β) である.

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■導出

関数u(t)v(t)は閉区間[α,β] で定義されている.この区間[α,β]α=t0<t1<t2<<tn1<tn=βとなるti(i=0,1,2,,n)n 個の区間に分割する.A=(u(α),v(α))B=(u(β),v(β))Ti=(u(ti),v(ti))とすると,Ti は曲線AB上にある.(右図参照) 線分Ti1Tiの長さΔsi は,xi=u(ti)yi=v(ti)Δxi=xixi1Δyi=yiyi1Δti=titi1とすると

Δsi=(Δxi)2+(Δyi)2

=(ΔxiΔti)2+(ΔyiΔti)2Δti

曲線ABの長さは,和の極限としての定積分の考え方より

limnni=1(ΔxiΔti)2+(ΔyiΔti)2Δti =βα(dxdt)2+(dydt)2dt

=βα{u(t)}2+{v(t)}2dt

となる. 一方

Δsi=(Δxi)2+(Δyi)2=1+(ΔyiΔxi)2Δxi

と考えると,曲線AB  (axb) の長さは

limnni=11+(ΔyiΔxi)2Δxi=ba1+(dydx)2dx

=ba1+{f(x)}2dx

となりる.

以上より,公式が導かれる.(区分求積法を参考する)


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最終更新日: 2024年5月17日

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