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応用分野: 曲線の長さ定積分と面積定積分の定義

和の極限としての定積分の定義

原始関数で定積分を定義すると,定積分の意味することがらが理解しにくい.よって,和の極限としての定積分の定義を以下に示す.

関数 f( x ) 閉区間 [ a,b ] で定義されている. この区間 [ a,b ]

a= x 0 < x 1 < x 2 < < x n1 < x n =b

となる x i ( i=0,1,2,,n ) n 個の小区間に分割し, Δ x i = x i x i1   ( i=1,2,3,,n ) と定める. Δ x i の中で最大の値を Δ で表す.それぞれの区間 [ x i1 , x i ] の中に任意の点 ξ i をとり, Δ S i =f( ξ i )Δ x i となる値を i=1 から n まで足し合わせた値(リーマン和と呼ぶ)

S n = i = 1 n Δ S i

= i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i

= i = 1 n f ( ξ i ) ( x i x i 1 )

を考える. ここで,閉区間 [ a,b ] の分割数 n の値を大きくしていく( Δ の値を小さくしていく)と,分割の仕方および ξ i のとり方に関係なくある値 S に収束するなら,式で示すと,

S= lim n i=1 n f( ξ i )( x i x i1 )

となるなら, f( x ) [ a,b ] で積分可能であるといい,

S= a b f( x )dx

と表し, a から b までの定積分という.

閉区間 [ a,b ] で関数 f( x ) 連続ならば, f( x ) [ a,b ] 積分可能となる.

区間 [ a,b ] f( x )0 とすると, Δ S i =f( ξ i )Δ x i の値は長方形の面積になり,分割を限りなく細かくしたときの長方形の面積の和,すなわち a b f( x )dx は,関数 y=f( x ) の曲線と x 軸で挟まれた領域で,区間 [ a,b ] の面積を表す(定積分と面積を参照のこと).

 

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最終更新日: 2023年7月3日

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