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曲線の長さ 

媒介変数表示された曲線 ${\displaystyle x=u\left(t\right)}$，${\displaystyle y=v\left(t\right)}$　${\displaystyle \left(\alpha \leqq t\leqq \beta \right)}$ の長さs は

${\displaystyle s={{\displaystyle \int }}_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt}$${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left\{u^{\prime }\left(t\right)\right\}}^2+{\left\{v^{\prime }\left(t\right)\right\}}^2}dt}$

曲線 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$，${\displaystyle \left(a\leqq x\leqq b\right)}$ の長さs は

${\displaystyle s={{\displaystyle \int }}_a^b\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx}$${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_a^b\sqrt{1+{\left\{f^{\prime }\left(x\right)\right\}}^2}dx}$

となる．ただし，${\displaystyle a=u\left(\alpha \right)}$ ，${\displaystyle b=u\left(\beta \right)}$ である．

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■導出

関数${\displaystyle u\left(t\right)}$，${\displaystyle v\left(t\right)}$は閉区間${\displaystyle \left[\alpha ,\beta \right]}$ で定義されている．この区間${\displaystyle \left[\alpha ,\beta \right]}$ を${\displaystyle \alpha =t_0<t_1<t_2<\cdots <t_{n-1}<t_n=\beta }$となる${\displaystyle t_i\left(i=0,1,2,\cdots ,n\right)}$でn 個の区間に分割する．${\displaystyle \text{A}=\left(u\left(\alpha \right),v\left(\alpha \right)\right)}$ ，${\displaystyle \text{B}=\left(u\left(\beta \right),v\left(\beta \right)\right)}$ ，${\displaystyle {\text{T}}_i=\left(u\left(t_i\right),v\left(t_i\right)\right)}$とすると，${\displaystyle {\text{T}}_i}$ は曲線${\displaystyle \text{AB}}$上にある．（右図参照） 線分${\displaystyle {\text{T}}_{i-1}{\text{T}}_i}$の長さ${\displaystyle \Delta s_i}$ は，${\displaystyle x_i=u\left(t_i\right)}$ ，${\displaystyle y_i=v\left(t_i\right)}$ ，${\displaystyle \Delta x_i=x_i-x_{i-1}}$ ，${\displaystyle \Delta y_i=y_i-y_{i-1}}$ ，${\displaystyle \Delta t_i=t_i-t_{i-1}}$とすると

${\displaystyle \Delta s_i}$${\displaystyle =\sqrt{{\left(\Delta x_i\right)}^2+{\left(\Delta y_i\right)}^2}}$

${\displaystyle =\sqrt{{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)}^2}\Delta t_i}$

曲線${\displaystyle \text{AB}}$の長さは，和の極限としての定積分の考え方より

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\sqrt{{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)}^2}\Delta t_i}$ ${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt}$

${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left\{u^{\prime }\left(t\right)\right\}}^2+{\left\{v^{\prime }\left(t\right)\right\}}^2}dt}$

となる． 一方

${\displaystyle \Delta s_i}$${\displaystyle =\sqrt{{\left(\Delta x_i\right)}^2+{\left(\Delta y_i\right)}^2}}$${\displaystyle =\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)}^2}\Delta x_i}$

と考えると，曲線${\displaystyle \text{AB}}$  ${\displaystyle \left(a\leqq x\leqq b\right)}$ の長さは

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)}^2}\Delta x_i}$${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_a^b\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx}$

${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_a^b\sqrt{1+{\left\{f^{\prime }\left(x\right)\right\}}^2}dx}$

となりる．

以上より，公式が導かれる．（区分求積法を参考する）

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最終更新日： 2024年2月16日

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