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曲線の長さ 

媒介変数表示された曲線  x=u( t ) y=v( t )   ( αtβ )  の長さ s

s = α β ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 dt = α β { u ( t ) } 2 + { v ( t ) } 2 dt

曲線  y=f( x ) ( axb )  の長さ s

s = a b 1+ ( dy dx ) 2 dx = a b 1+ { f ( x ) } 2 dx

となる.ただし, a=u( α ) b=u( β ) である.

■導出

関数 u( t ) v( t ) は閉区間 [ α,β ] で定義されている.この区間 [ α,β ] α= t 0 < t 1 < t 2 << t n1 < t n =β となる t i ( i=0,1,2,,n ) n 個の区間に分割する. A=( u( α ),v( α ) ) B=( u( β ),v( β ) ) T i =( u( t i ),v( t i ) ) とすると, T i は曲線 AB 上にある.(右図参照) 線分 T i1 T i の長さ Δ s i は, x i =u( t i ) y i =v( t i ) Δ x i = x i x i1 Δ y i = y i y i1 Δ t i = t i t i1 とすると

Δ s i = ( Δ x i ) 2 + ( Δ y i ) 2 = ( Δ x i Δ t i ) 2 + ( Δ y i Δ t i ) 2 Δ t i

曲線 AB の長さは,和の極限としての定積分の考え方より

lim n i=1 n ( Δ x i Δ t i ) 2 + ( Δ y i Δ t i ) 2 Δ t i = α β ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 dt = α β { u ( t ) } 2 + { v ( t ) } 2 dt

となる. 一方

Δ s i = ( Δ x i ) 2 + ( Δ y i ) 2 = 1+ ( Δ y i Δ x i ) 2 Δ x i

と考えると,曲線 AB    ( axb )  の長さは

lim n i=1 n 1+ ( Δ y i Δ x i ) 2 Δ x i = a b 1+ ( dy dx ) 2 dx = a b 1+ { f ( x ) } 2 dx

となりる.

以上より,公式が導かれる.(区分求積法を参考する)


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最終更新日: 2017年3月10日

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