指数関数の底の変換の仕方

$x = a^{{log}_{a} x}$

が導かれる．この関係式の $x$ の替わりに， $b^{x}$ （ただし， $b > 0$ ）を用いると

$b^{x} = a^{{log}_{a} b^{x}} = a^{x {log}_{a} b}$

となり，指数関数の底が $b$ から $a$ に変換される． $\log b^{x} = x \log b$ の変換は，ここを参照のこと．

指数関数の底の変換の利用例としては，指数関数の微分がある．

■別の説明

指数関数 $b^{x}$ の底を $b$ から $a$ に変換する．

$b^{x} = a^{y}$ 　･･････(1)

と置き，この方程式を $y$ について解く

(1)の両辺の底が $a$ の対数を取る

$\log_{a} b^{x} = \log_{a} a^{y}$

$x \log_{a} b = y \log_{a} a$ 　（∵ $\log_{a} R^{t} = t \log_{a} R$ ）

$x \log_{a} b = y$ 　（∵ $\log_{a} a = 1$ ）　･･････(2)

となる．

(2)を(1)代入する.

$b^{x} = a^{x \log_{a} b}$

となり，指数関数 $b^{x}$ の底が $b$ から $a$ に変換された．

最終更新日： 2024年6月20日