指数が正の有理数の場合

$a > 0$ ， $m$ ， $n$ は正の整数とする．

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ 　特に $m = 1$ のとき， $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

■導出

指数法則がなりたつとすると

${(a^{\frac{m}{n}})}^{n} = a^{\frac{m}{n} \times n} = a^{m}$ 　･･････(1)

一方

$a^{m}$ の $n$ 乗根 $\sqrt[n]{a^{m}}$ を $n$ 乗すると $a^{m}$ となる⇒累乗根を参照

式で示すと， ${(\sqrt[n]{a^{m}})}^{n} = a^{m}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

${(a^{\frac{m}{n}})}^{n} = {(\sqrt[n]{a^{m}})}^{n}$

よって

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

となる．

$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

$a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$

$a^{\frac{2}{3}} = {(a^{2})}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^{2}}$

最終更新日： 2024年7月13日