指数が負の有理数の場合

$a > 0$ ， $r$ を正の有理数とする．

$a^{- r} = \frac{1}{a^{r}}$

■導出

$r$ は正の有理数とする．すると， $- r$ は負の有理数となる．指数法則がなりたつとすると

$a^{0} = a^{r + (- r)} = a^{r} a^{- r}$

$a^{0} = 1$ より（⇒指数が0，負の整数の場合を参照）

$a^{r} a^{- r} = 1$

両辺を $a^{r}$ で割ると

$a^{- r} = \frac{1}{a^{r}}$

となる．

$a^{- \frac{1}{2}} = {(a^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ $= \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$ $= \frac{1}{\sqrt{a}}$

$a^{- \frac{1}{3}} = {(a^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ $= \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}$ $= \frac{1}{\sqrt[3]{a}}$

$a^{- \frac{2}{3}} = {(a^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ $= \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}$ $= \frac{1}{{(a^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ $= \frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}}$

最終更新日： 2024年7月14日