指数が実数の場合（指数を有理数から実数に拡張）

$a > 0$ で，指数 $x$ が実数の場合， $a^{x}$ を以下のように定める．

数 $x$ に限りなく近づく有理数の数列 $r_{1}, r_{2}, r_{3}, \dots$ を考えると，数列 $a^{r_{1}}, a^{r_{2}}, a^{r_{3}}, \dots$ はある値に限りなく近づく．その値を $a^{x}$ と定める．

このように定めると， $a$ の $r$ 乗 $a^{r}$ の指数 $r$ が実数の場合でも，指数法則が成り立つ．

指数法則

$a > 0$ ， $b > 0$ ， $r$ ， $s$ は実数とするとき

$a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}$
${(a^{r})}^{s} = a^{r s}$
${(a b)}^{r} = a^{r} b^{r}$
$\frac{a^{r}}{a^{s}} = a^{r - s}$
${(\frac{a}{b})}^{r} = \frac{a^{r}}{b^{r}}$

例えば， $3^{\sqrt{2}}$ について説明する．

この場合， $a = 3$ ， $x = \sqrt{2}$ となる． $\sqrt{2} = 1.4142135 \dots$ なので， $\sqrt{2}$ に限りなく近づく有理数の数列

1，1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，1.414213，1.4142135，･･････

を考え，この数列を指数とする3の累乗の数列は

$3^{1}$ ， $3^{1.4}$ ， $3^{1.41}$ ， $3^{1.414}$ ， $3^{1.4142}$ ， $3^{1.41421}$ ， $3^{1.414213}$ ， $3^{1.4142135}$ ，･･････

となる．この数列の値は以下のようになり

$\begin{matrix} 3^{1} & = & 3 \\ 3^{1.4} & = & 4.655536 \dots \\ 3^{1.41} & = & 4.706965 \dots \\ 3^{1.414} & = & 4.727695 \dots \\ 3^{1.4142} & = & 4.728733 \dots \\ 3^{1.41421} & = & 4.728785 \dots \\ 3^{1.414213} & = & 4.728801 \dots \\ 3^{1.4142135} & = & 4.728804 \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{matrix}$

ある一定の値に近づく．その値を $3^{\sqrt{2}}$ と定める．

■参考

⇒ [1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

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最終更新日： 2025年4月26日