三角形の面積

${\displaystyle \Delta \text{ABC}}$ の面積を$S$とする

　${\displaystyle S=\frac{1}{2}\text{AB}·\text{AC}·sin\theta }$  ･･････(1)

ベクトルを用いて表すと

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{{\left|\stackrel{⟶}{\text{AB}}\right|}^2·{\left|\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right|}^2-{\left(\stackrel{⟶}{\text{AB}}·\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right)}^2}}$  ･･････（2）

この式は，頂点${\displaystyle \text{A}}$ ，${\displaystyle \text{B}}$ ，${\displaystyle \text{C}}$ の座標が与えられているときに便利である．

■導出方法

$\text{AB}=\left|\stackrel{⟶}{\text{AB}}\right|$，$\text{AC}=\left|\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right|$ 　   ･･････（3）

内積の定義より

${\displaystyle cos\theta =\frac{\stackrel{⟶}{\text{AB}}·\stackrel{⟶}{\text{AC}}}{\left|\stackrel{⟶}{\text{AB}}\right|·\left|\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right|}}$ 　･･････（4）

$sin\theta =\sqrt{1-{cos}^2\theta }$　 ･･････（5）

(3)，(4)，(5)を(1)に代入すると(2)が求まる．

 

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最終更新日： 2023年2月21日