大学入試問題

I．

(1)

x  の2次方程式 x 2 −2( log 2 a )x+ log 2 ( 4a )=0  が異なる2つの実数解をもつための定数 a の条件は

ア <a< イ ウ  , a>エ

である．

(2)

tanθ=4 (0°<θ<90°)  のとき  3sinθ+8cosθ= オカ キク

(3)

複素数  z=1+ 3 ⅈ  に対して  z 6 =ケコ  である．

(4)

ベクトル  a → =( 6,2 )  と  b → =( 2,t )  に対して  a → + b →  と  a → - b →  が 垂直であるとき  t= サシ  である．

(5)

AB=2,BC= 3 ,C=90° である三角形ＡＢＣの角Ｂの2等分線が辺ＡＣと交わる点をＤとする．このとき， cos∠DBC= ス + セ ソ  であり， BD=タ チ − ツ  である． ただし， ス >セ  とする．

(6)

a>0 とする．放物線  y= x 2 −4ax+3 a 2  と x  軸とで囲まれる部分の面積が100のとき， a= テト 3 である．

II．

a 1 =1, a 2 =7, a n+1 −7a   (n=1,2,3,⋯)  で定まる数列に  { a n }  に対して， b n = a n+1 − a n 　とおき， T n = ∫ a n a n+1 2xdx  とする．

(1)

(2)

b n =イ  ·  ウ n−1 である．

(3)

a 15 = エ オ カ  である．

(4)

T n =キク  ·  ケ コ n−サ  であり， T n+1 T n =シス  である．

(5)

∑ k=1 n T k = セ 2n −ソ  である．

III．

黒石が6個，白石が4個入っている袋から1個を取り出す．それが黒石のときは白石を1個袋に入れ，白石のときは黒石を1個袋に中に入れて袋の中には常に10個の石が入っているようにする．この試行を3回繰り返す．

(1)

1回目に取り出した石が黒石である確率は   ア  イ  である．

(2)

1回目に取り出した石が黒石である確率は   ウエ  オカ  である．

(3)

取り出した石が3個とも黒石である確率は  キ  クケ   である．

(4)

3回のうち，少なくとも1回は白石である確率は   コサ  シ ス  である．

(5)

3回目に取り出した石が黒石である確率は   セソタ  250  である．

I．

(1)

公比が正である等比数列  { a n }  において a 3 =3, a 7 =243 であるとき  a 5 =アイ  である．

(2)

3点  O( 0,0 ),A( 6,0 ),B( 5,8 )  を頂点とする△ＯＡＢの垂心の座標は  ( ウ  ,   エ  オ )  である．

(3)

| sinθ− 1 2 |=1( 0°≤θ≤270° )  を満たす θ  は θ=カキク °  である．

(4)

log 2 ( x−2 )+log( x+2 )=−3  は x=   ケコ   サ  である．

(5)

OA ⟶ =( 6,−a ) 　 と  OB ⟶ =( a,2 )  のなす角が 120° であるとき a=シス セ で
△ＯＡＢの面積は ソタ である．

(6)

複素数  z 1 = 3 ( 1+ⅈ ), z 2 = 2 ( 1+ 3 ⅈ )  に対して

| z 1 z 2 |=チ ツ    ,   arg( z 1 z 2 )=テトナ ° 　

である．　ただし， 0°≤テトナ ≤360° とする．

II．

(1)

(2)

(3)

(4)

III．

2つの円

x 2 + y 2 −4x=0 ・・・ ① 　

x 2 + y 2 −16x−2by+16b=0  ・・・ ②

について　

(1)

b=3 のとき，円①と②の中心距離は  ア イ  である．

(2)

b=3 のとき，円①と②の交点間の距離は   ウ   エ オ  である．

(3)

b= カ   キ   のとき，円②は①の中心を通る．

(4)

b=ク  のとき，円①は②に内接し， b=   ケ コ  サ のとき，円①と②は外接する．

I．

(1)

x 3 = y 4 = z 5 のとき， xyz x 3 + y 3 + z 3 =   ア   イウ  である．

(2)

放物線 y= x 2 上の2点 P( 3,9 ),Q( a, a 2 ) に対して，点Ｑにおける放物線の接線と直線ＰＱが直交するならば， a=   エオ± カ   キ 　である．

(3)

円  x 2 + y 2 −4x−21=0  と直線  y=−x+3 の共有点の間の距離は  ク ケ  である．　

(4)

( 1 2 x−2y ) 2 の展開式において  x 5 y 3  の係数は  コサシ  である．　

(5)

2つのサイコロを同時に投げるとき，少なくとも一方が1の目である確率は   スセ  ソタ  である．

(6)

AB=2,AC=3,A=60°  である△ＡＢＣについて，

log 3 sinC+ log 3 cosA− log 3 sinB=ツチ

である．

II．

関数 f(x)

{ x<0 x≧0	のとき	f( x )=−2 x 2 −5
	のとき	f( x )= x 2 −3x

で与えられる関数とし，曲線  y=f(x)  ・・・ ① と直線  y=mx  ・・・ ② を考える．

(1)

関数  f(x)  は x=  アイ  ウ で極大値  エオ   カ を，　x=  キ  ク で極大値  ケコ   サ をとる．

(2)

直線 ② と曲線 ① と原点以外の2点で交わるような m の値の範囲は m>シス  である．

(3)

m の値が (2) の範囲内にあるとき，

(i)

直線 ② と曲線 ① の交点で原点以外のものの  x  座標は，小さいほうから順に， −m−セ  ソ ， m+タ である．

(ii)

曲線 ① と直線 ② で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるような m の値は  チ ツ 4 3 +テ   4 3 −1 である．

III．

ⅈ  を虚数単位として， z n = 2 2( n−1 ) ( 2 + 2 ⅈ )   ( n=1,2,3⋯ )  とおく．　

(1)

| z 1 |=ア である．

(2)

log 2 | z 1 z 2 z 3 |=イ  である．

(3)

log| z 1 z 2 ⋯ z n |= ウ エ  である．

(4)

∑ k=1 n k log 2 = 1 オ n( n+1 )( カ n−キ )  である．　

(5)

| z 2n z 2n−1 |=ク  であり， log 2 | z 2 z 1 z 4 z 3 ⋯ z 2n z 2n−1 |=ケコ  である．