相加平均 相乗平均 最小値
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 質問と解答
最終更新日 2004年5月26日

【質問/問題】
下記の問題で私なりの解答を考えたのですが,
問題の解答とは値が異なってしまっています.
問題の解答も理解できるのですが,なぜ,私の解答が
間違っているのか分りません.どうかよろしくお願いします.

a>0,b>0の時 a/4+b-(a(b+1))^(1/2)+5の最小値を求めよ.

【私の解答】
 a>0,b>0より,相加・相乗平均の公式を使うと
  a/4+b>=2(ab/4)^(1/2) ・・・@
等号成立はa/4=bの時

 また,a>0,b+1>0より,相加・相乗平均の公式を使うと
a+(b+1)>=2(a(b+1))^(1/2)  ・・・A
  等号成立はa=b+1の時

@,Aより
(与式)>=(ab)^(1/2)-(a+b+1)/2+5・・・D
等号成立はa/4=b・・・B且つa=b+1・・・Cの時

B,Cより
a=4/3,b=1/3
a=4/3,b=1/3をDに代入すると最小値が求まる
(与式の最小値)=2/3-(4/3+1/3+1)/2+5=13/3

【問題の解答】
 a/4>0,b+1>0より,相加・相乗平均の公式を使うと
  a/4+b+1>=2(a(b+1)/4)^(1/2) ・・・@
等号成立はa/4=b+1の時
@より
(与式)>=(a(b+1))^(1/2)-a(b+1))^(1/2)+4=4

よって,最小値は4である.

【解答】

間違えているところは,

等号成立はa/4=b・・・B且つa=b+1・・・Cの時

です.BとCが同時に成立することはありません.CをBに代入すると方程式が成り立たないことが分かるはずです.

以下の式の変形を参考にしてください.







 

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