完全微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

$(y e^{x} - y^{2} \sin x) d x$ $+ (e^{x} + 2 y \cos x) d y$ $= 0$

$y e^{x} + y^{2} \cos x = c$

完全微分方程式 $P d x + Q d y = 0$ の一般解は

$\int_{a}^{x} P (x, y) d x + \int_{b}^{y} Q (a, y) d y = c$ ･･････(1)

ここで $a$ と $b$ は定数であり， $c$ は任意定数である．

$P = y e^{x} - y^{2} \sin x$ , $Q = e^{x} + 2 y \cos x$ とすると

$P_{y} = e^{x} - 2 y \sin x$ , $Q_{x} = e^{x} - 2 y \sin x$ $∴ P_{y} = Q_{x}$

よってこの微分方程式は完全微分方程式である．

(1)の公式を利用する． $a = 0$ , $b = 0$ として

$\int_{0}^{x} (y e^{x} - y^{2} \sin x) d x$ $+ \int_{0}^{y} (e^{0} + 2 y \cos 0) d y$ $= c$

${[y e^{x} + y^{2} \cos x]}_{0}^{x} + {[y + y^{2}]}_{0}^{y} = c$

$y e^{x} + y^{2} \cos x - (y + y^{2}) + y + y^{2} - 0$ $= c$

$y e^{x} + y^{2} \cos x = c$

最終更新日： 2023年6月15日