完全微分方程式に関する問題

■問題

次の完全微分方程式を（　）内の初期条件のもとで解け

$(\frac{1}{y} + 2 x) d x + (- 2 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

( $x = 2$ , $y = 2$ )

$y^{3} + (1 - x) x y - 3 x + 2 = 0$

完全微分方程式 $P d x + Q d y = 0$ の解で初期条件 $x = a$ , $y = b$ を満たすものは

$\int_{a}^{x} P (x, y) d x + \int_{b}^{y} Q (a, y) d y = 0$ ･･････(1)

初期条件より $a = 2$ , $b = 2$ として，公式(1)を利用すると

$\int_{2}^{x} (\frac{1}{y} + 2 x) d x$ $+ \int_{2}^{y} (- 2 y - \frac{2}{y^{2}}) d y$ $= 0$

${[\frac{x}{y} + x^{2}]}_{2}^{x} + {[- y^{2} + \frac{2}{y}]}_{2}^{y} = 0$

$\frac{x}{y} + x^{2} - (\frac{2}{y} + 4) - y^{2} + \frac{2}{y}$ $- (- 4 + 1)$ $= 0$

$x^{2} - y^{2} + \frac{x}{y} - 1 = 0$

両辺に $- y$ をかけて，式を整理すると

$y^{3} + (1 - x^{2}) y - x = 0$

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最終更新日： 2023年6月16日