問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

完全微分方程式に関する問題

■問題

次の完全微分方程式を（　）内の初期条件のもとで解け

${\displaystyle \left(\frac{1}{y}+2x\right)dx+\left(-2y-\frac{x}{y^2}\right)dy=0}$

(${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle y=2}$)

■答

${\displaystyle y^3+\left(1-x\right)xy-3x+2=0}$

■ヒント

完全微分方程式の特殊解

完全微分方程式${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$の解で初期条件 ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle y=b}$を満たすものは

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx+}{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(a,y\right)dy}=0}$  ･･････(1)

■解き方

初期条件より${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=2}$ として，公式(1)を利用すると

${\displaystyle \underset{2}{\overset{x}{{\displaystyle \int }}}\left(\frac{1}{y}+2x\right)dx}$${\displaystyle +\underset{2}{\overset{y}{{\displaystyle \int }}}\left(-2y-\frac{2}{y^2}\right)dy}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle {\left[\frac{x}{y}+x^2\right]}_2^x+{\left[-y^2+\frac{2}{y}\right]}_2^y=0}$

${\displaystyle \frac{x}{y}+x^2-\left(\frac{2}{y}+4\right)-y^2+\frac{2}{y}}$${\displaystyle -\left(-4+1\right)}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x^2-y^2+\frac{x}{y}-1=0}$

両辺に${\displaystyle -y}$をかけて，式を整理すると

${\displaystyle y^3+\left(1-x^2\right)y-x=0}$

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最終更新日： 2023年6月16日

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