変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\mathrm{-}2y}$

■答

${\displaystyle y=A{e}^{-2x}}$ （ただし${\displaystyle A}$は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\mathrm{-}2y}$

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle dy=\mathrm{-}2ydx}$　･･････(1)

(i)${\displaystyle y\ne 0}$のとき

(1)の両辺を${\displaystyle y}$ で割って

${\displaystyle \frac{1}{y}dy=\mathrm{-}2dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{y}dy}={\displaystyle \int -2dx}+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle \log \left|y\right|=-2x+C}$ 　　(ただし ${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \log e=1}$ なので，右辺を書き換えると

${\displaystyle -2x+C=\left(-2x+C\right)\log e}$

さらに対数の性質より

${\displaystyle \left(-2x+C\right)\log e=\log e^{-2x+C}}$

よって

${\displaystyle \log \left|y\right|=\log e^{-2x+C}}$

${\displaystyle \left|y\right|=e^{-2x+C}}$

指数法則より 

${\displaystyle e^{-2x+C}=e^C{e}^{-2x}}$

となるので

${\displaystyle \left|y\right|=e^C{e}^{-2x}}$

${\displaystyle y=\pm e^C{e}^{-2x}}$

${\displaystyle \pm e^C=A\ne 0}$  とおくと

${\displaystyle y=A{e}^{-2x}}$　･･････(2)

(ii)${\displaystyle y=0}$ のとき

(2)の${\displaystyle A=0}$ のときに相当する．

　

(i)， (ii)の結果より

${\displaystyle y=A{e}^{-2x}}$ （ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2023年1月25日