問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left({\tan }^{-1}y\right)y^{\prime }=\frac{\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}}$

■答

${\displaystyle y{\tan }^{-1}y+{\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\log \left|y^2+1\right|}$${\displaystyle =C}$

（ただし${\displaystyle C}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$

両辺を積分して

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+C}$

■解き方

${\displaystyle \left({\tan }^{-1}y\right)y^{\prime }}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2-x^2}}{-\left(-x^2+2\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{\sqrt{2-x^2}}{2-x^2}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{dx}}$ より

${\displaystyle \left({tan}^{-1}y\right)\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}}$

両辺に${\displaystyle dx}$ をかける

${\displaystyle \left({tan}^{-1}y\right)dy=\left(-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}\right)dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \left({\tan }^{-1}y\right)dy}}$${\displaystyle =\int \left(-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}\right)dx}$

⇒左辺の積分方法 　 ⇒右辺の積分方法

${\displaystyle y{\tan }^{-1}y-\frac{1}{2}\log \left|y^2+1\right|}$${\displaystyle =-{\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}}$${\displaystyle +C}$

整理するとS

${\displaystyle y{\tan }^{-1}y+{\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\log \left|y^2+1\right|}$${\displaystyle =C}$

（ただし${\displaystyle C}$ は任意定数）

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最終更新日： 2022年5月4日

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