問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2}}$

■答

${\displaystyle y=\frac{x}{1-Ax}}$　(${\displaystyle A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2}={\left(\frac{y}{x}\right)}^2}$　･･････(1)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$　･･････(2)

これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$　　･･････(3)

(2)，(3)を(1)に代入すると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=v^2}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=v^2-v}$

${\displaystyle \frac{1}{v^2-v}dv=\frac{1}{x}dx}$

左辺を部分分数に展開すると

${\displaystyle \left(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v}\right)dv=\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v}\right)dv}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \log \left|v-1\right|-\log \left|v\right|=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle \log \left|v-1\right|-\log \left|v\right|-\log \left|x\right|=C}$

対数の性質を利用してこの式を整理すると

${\displaystyle \log \left|\frac{v-1}{vx}\right|=C}$

左辺は

${\displaystyle C=C\log e=\log e^C}$　　${\displaystyle \left(\because \log e=1\right)}$

に変形できるので

${\displaystyle \log \left|\frac{v-1}{vx}\right|=\log e^C}$

${\displaystyle \left|\frac{v-1}{vx}\right|=e^C}$

${\displaystyle \frac{v-1}{vx}=\pm e^C}$

${\displaystyle v}$ を元(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$ )に戻すと

${\displaystyle \frac{\frac{y}{x}-1}{\frac{y}{x}x}=\pm e^C}$

${\displaystyle \frac{y-x}{xy}=\pm e^C}$

${\displaystyle \pm e^C=A\ne 0}$ とおいて，整理すると

${\displaystyle y-x=Axy}$

${\displaystyle y-Axy=x}$

${\displaystyle \left(1-Ax\right)y=x}$

${\displaystyle y=\frac{x}{1-Ax}}$　･･････(4)

${\displaystyle A=0}$ のとき，(4)は

${\displaystyle y=x}$　･･････(5)

となる．(5)より

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=1}$　･･････(6)

${\displaystyle \frac{y^2}{x^2}=\frac{x^2}{x^2}=1}$　･･････(7)

(6)，(7)より(5)は与式の微分方程式を満たすので，その解となる．

よって，(4)は${\displaystyle A=0}$ も含めて微分方程式の解となる．

以上より，微分方程式の解は

${\displaystyle y=\frac{x}{1-Ax}}$　(${\displaystyle A}$ は任意定数)

となる．

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最終更新日： 2023年6月19日

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