問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle xy\frac{dy}{dx}=x^2+y^2}$　･･････(1)

■答

${\displaystyle y=\pm x\sqrt{2\log \left|x\right|+A}}$　(ただし${\displaystyle A}$は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle xy\frac{dy}{dx}=x^2+y^2}$　･･････(1)

(1)の両辺を${\displaystyle xy}$で割ると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$　･･････(2)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$　･･････(3)

これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入すると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}+v}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}}$

${\displaystyle vdv=\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int vdv}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \frac{1}{2}{v}^2=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle v}$を元(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$)に戻すと

${\displaystyle \frac{1}{2}{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle {\left(\frac{y}{x}\right)}^2=2\log \left|x\right|+2C}$

${\displaystyle \frac{y}{x}=\pm \sqrt{2\log \left|x\right|+2C}}$

${\displaystyle y=\pm x\sqrt{2\log \left|x\right|+2C}}$

${\displaystyle 2C=A}$ とおくと

${\displaystyle y=\pm x\sqrt{2\log \left|x\right|+A}}$

　

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最終更新日： 2023年6月19日

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