問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle x-2y+3x{y}^{\prime }=0}$　･･････(1)

■答

${\displaystyle y=-x+\sqrt[3]{A{x}^2}}$　(${\displaystyle A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle x-2y+3x{y}^{\prime }=0}$　･･････(1)

(1)を変形すると

${\displaystyle 3x\frac{dy}{dx}=-x+2y}$

(1)の両辺を${\displaystyle x}$で割ると

${\displaystyle 3\frac{dy}{dx}=-1+2\frac{y}{x}}$　･･････(2)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$ とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$　･･････(3)

これを${\displaystyle x}$で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入すると

${\displaystyle 3\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)=-1+2v}$

${\displaystyle 3v+3x\frac{dv}{dx}=-1+2v}$

${\displaystyle 3x\frac{dv}{dx}=-1-v}$

${\displaystyle 3xdv=-\left(1+v\right)dx}$

${\displaystyle \frac{1}{1+v}dv=-\frac{1}{3x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{1+v}dv}=-{\displaystyle \int \frac{1}{3x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \log \left|1+v\right|=-\frac{1}{3}\log \left|3x\right|+C}$

${\displaystyle \log \left|1+v\right|+\frac{1}{3}\log \left|3x\right|=C}$

両辺に3を掛けると

${\displaystyle 3\log \left|1+v\right|+\log \left|3x\right|=3C}$

対数の性質より

${\displaystyle \log {\left|1+v\right|}^3\left|3x\right|=3C}$

右辺の${\displaystyle 3C}$ は${\displaystyle 3C=3C\log e=\log e^{3C}}$ と変形できるので(${\displaystyle \because \log e=1}$)

${\displaystyle \log {\left|1+v\right|}^3\left|3x\right|=\log e^{3C}}$

よって

${\displaystyle {\left|1+v\right|}^3\left|3x\right|=e^{3C}}$

${\displaystyle 3x{\left(1+v\right)}^3=\pm e^{3C}}$  

${\displaystyle v}$ を元に戻すと(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$ )

${\displaystyle 3x{\left(1+\frac{y}{x}\right)}^3=\pm e^{3C}}$  

両辺を3で割ると

${\displaystyle x{\left(1+\frac{y}{x}\right)}^3=\pm \frac{1}{3}{e}^{3C}}$  

さらに両辺に${\displaystyle x^2}$ をかけると

${\displaystyle x^3{\left(1+\frac{y}{x}\right)}^3=\pm \frac{1}{3}{e}^{3C}{x}^2}$  

${\displaystyle {\left(x+y\right)}^3=\pm \frac{1}{3}{e}^{3C}{x}^2}$

${\displaystyle \pm \frac{1}{3}{e}^{3C}=A\ne 0}$ とおくと

${\displaystyle {\left(x+y\right)}^3=A{x}^2}$

${\displaystyle x+y=\sqrt[3]{A{x}^2}}$

${\displaystyle y=-x+\sqrt[3]{A{x}^2}}$　･･････(5)

${\displaystyle A=0}$のとき，(5)は

${\displaystyle y=-x}$　･･････(6)

となる．

(6)が成り立つとき

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-1}$　･･････(7)

(6)，(7)を(1)の左辺に代入すると

${\displaystyle x-2\left(-x\right)+3x\cdot \left(-1\right)=0}$

となり，(6)は与式の微分方程式を満たすので、その解となる．

よって，(5)は${\displaystyle A=0}$ も含めて微分方程式の解となる．

以上より，微分方程式の解は

${\displaystyle y=-x+\sqrt[3]{A{x}^2}}$　(${\displaystyle A}$ は任意定数)

となる．

　

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最終更新日： 2023年6月19日

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