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同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle x-2y+3x{y}^{\prime }=0}$ ･･････(1)

■答

${\displaystyle y=-x+\sqrt[3]{A{x}^2}}$    (ただし， ${\displaystyle A}$ は任意定数，${\displaystyle x\ne 0}$ )

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle x-2y+3x{y}^{\prime }=0}$ ･･････(1)

(1)を変形すると

${\displaystyle 3x\frac{dy}{dx}=-x+2y}$

${\displaystyle x\ne 0}$ として，両辺を ${\displaystyle x}$ で割ると

${\displaystyle 3\frac{dy}{dx}=-1+2\frac{y}{x}}$ ･･････(2)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$ とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$ ･･････(3)

これを ${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$ ･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入すると

${\displaystyle 3\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)=-1+2v}$

${\displaystyle 3v+3x\frac{dv}{dx}=-1+2v}$

${\displaystyle 3x\frac{dv}{dx}=-1-v}$

${\displaystyle 3xdv=-\left(1+v\right)dx}$

${\displaystyle 1+v\ne 0}$ として，(1)の両辺を ${\displaystyle 1+v}$ で割ると

${\displaystyle \frac{1}{1+v}dv=-\frac{1}{3x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{1+v}dv}=-{\displaystyle \int \frac{1}{3x}dx}}$

${\displaystyle \log \left|1+v\right|=-\frac{1}{3}\log \left|x\right|+C}$

(ただし ${\displaystyle C}$ は任意定数)

【備考】 ${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$ の公式を使うと ${\displaystyle {\displaystyle -\int \frac{1}{3x}dx}=-\frac{1}{3}\log \left|3x\right|+C}$   ･･････(＊) となる．一方，対数の性質を使って，式を変形すると ${\displaystyle =-\frac{1}{3}\log 3\left|x\right|+C}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{3}\left(\log 3+\log \left|x\right|\right)+C}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{3}\log \left|x\right|-\frac{1}{3}\log 3+C}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{3}\log \left|x\right|+C^{\prime }}$   ただし， ${\displaystyle C^{\prime }=-\frac{1}{3}\log 3+C}$ したがって，積分定数を適切に取り直すことで，2つの式は同じ不定積分を表していることがわかる． (＊)の結果を使って計算を進めても最終的な結果は同じになる．

${\displaystyle \log \left|1+v\right|+\frac{1}{3}\log \left|x\right|=C}$

両辺に3を掛けると

${\displaystyle 3\log \left|1+v\right|+\log \left|x\right|=3C}$

対数の性質より

${\displaystyle \log {\left|1+v\right|}^3\left|x\right|=3C}$

右辺の ${\displaystyle 3C}$ は ${\displaystyle 3C=3C\log e=\log e^{3C}}$ と変形できるので( ${\displaystyle \because \log e=1}$ )

${\displaystyle \log {\left|1+v\right|}^3\left|x\right|=\log e^{3C}}$

よって

${\displaystyle {\left|1+v\right|}^3\left|x\right|=e^{3C}}$

${\displaystyle x{\left(1+v\right)}^3=\pm e^{3C}}$  

${\displaystyle v}$ を元に戻すと( ${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$ )

${\displaystyle x{\left(1+\frac{y}{x}\right)}^3=\pm e^{3C}}$  

両辺に ${\displaystyle x^2}$ をかけると

${\displaystyle x^3{\left(1+\frac{y}{x}\right)}^3=\pm e^{3C}{x}^2}$  

${\displaystyle {\left(x+y\right)}^3=\pm e^{3C}{x}^2}$

${\displaystyle \pm e^{3C}=A\ne 0}$ とおくと

${\displaystyle {\left(x+y\right)}^3=A{x}^2}$

${\displaystyle x+y=\sqrt[3]{A{x}^2}}$

${\displaystyle y=-x+\sqrt[3]{A{x}^2}}$ ･･････(5)

${\displaystyle A=0}$ のとき，(5)は

${\displaystyle y=-x}$ ･･････(6)

となる．このとき， ${\displaystyle v=\frac{y}{x}=-1}$ より ， ${\displaystyle 1+v=0}$ となる．この場合は，変数分離の際に ${\displaystyle 1+v}$ で割ったことにより除外されているため，(6)が元の微分方程式の解となるかを確認する．

(6)が成り立つとき

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-1}$ ･･････(7)

(6)，(7)を(1)の左辺に代入すると

${\displaystyle x-2\left(-x\right)+3x\cdot \left(-1\right)=0}$

となり，(6)は与えられた微分方程式を満たすので，その解となる．

よって，(5)は ${\displaystyle A=0}$ も含めて微分方程式の解となる．

以上より，微分方程式の一般解は

${\displaystyle y=-x+\sqrt[3]{A{x}^2}}$   (ただし， ${\displaystyle A}$ は任意定数，${\displaystyle x\ne 0}$ )

となる．

　

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最終更新日： 2026年10月9日

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