同次形微分方程式に関する問題

$\int \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} d v$ ･･････(1)

■解

$1 + v^{2} = t$ とおき，置換積分をする．

$\frac{d t}{d v} = 2 v$

$d t = 2 v d v$

以上を(1)に代入すると

$\int \frac{1}{2 \sqrt{t}} d t$

これを解くと

$\int \frac{1}{2 \sqrt{t}} d t = \int \frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} d t = t^{\frac{1}{2}}$ $= \sqrt{t} = \sqrt{1 + v^{2}}$

となる．

最終更新日： 2022年5月3日