問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(xy+x^2\right)y^{\prime }=y^2}$

■答

${\displaystyle y=A{e}^{-\frac{y}{x}}}$ 　　(ただし${\displaystyle A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle \left(xy+x^2\right)y^{\prime }=y^2}$

左辺を変形すると

${\displaystyle x^2\left(\frac{y}{x}+1\right)\frac{dy}{dx}=y^2}$

両辺を${\displaystyle x^2}$ で割ると

${\displaystyle \left(\frac{y}{x}+1\right)\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2}}$　･･････(1)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$ とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$

これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$

以上を(1)に代入すると

${\displaystyle \left(v+1\right)\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)=v^2}$

両辺を${\displaystyle \left(v+1\right)}$ で割ると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2}{v+1}}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{v^2}{v+1}-v}$

${\displaystyle =\frac{v^2-v\left(v+1\right)}{v+1}}$

${\displaystyle =\frac{v^2-v^2-v}{v+1}}$

${\displaystyle =\frac{-v}{v+1}}$

この式を整理すると

${\displaystyle \frac{v+1}{v}dv=-\frac{1}{x}dx}$

${\displaystyle \left(1+\frac{1}{v}\right)dv=-\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(1+\frac{1}{v}\right)dv}=-{\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle v+\log \left|v\right|=-\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle \log \left|v\right|+\log \left|x\right|=C-v}$

また，対数の性質より

${\displaystyle \log \left|vx\right|=C-v}$

${\displaystyle \log e=1}$ より，右辺を次のように変形する．

${\displaystyle \log \left|vx\right|}$ ${\displaystyle =\left(C-v\right)\log e}$

${\displaystyle =\log e^{C-v}}$

したがって

${\displaystyle \left|vx\right|=e^{C-v}}$

${\displaystyle vx=\pm e^{C-v}}$

${\displaystyle vx=\pm e^C{e}^{-v}}$

${\displaystyle v}$ を元( ${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$ )に戻し，${\displaystyle \pm e^C=A\ne 0}$ とおくと

${\displaystyle y=A{e}^{-\frac{y}{x}}}$　･･････(2)

(2)において，${\displaystyle A=0}$ とすると

${\displaystyle y=0}$　･･････(3)

となる．(3)は与式の部分方程式の解ととなる．

したがって，(2)は${\displaystyle A=0}$も含めて微分方程式の解となる．

以上より，微分方程式の解は

${\displaystyle y=A{e}^{-\frac{y}{x}}}$　(ただし${\displaystyle A}$ は任意定数)

となる．

　

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最終更新日： 2023年6月19日 -->

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