問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{\prime }+\frac{y}{x}=x}$

■答

${\displaystyle y=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{C}{x}}$

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

一般解

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

■解き方

${\displaystyle y^{\prime }+\frac{y}{x}=x}$　･･････(1)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

このことを利用すると，(1)の一般解は次のような式で求まる．

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}}\left({\displaystyle \int x{e}^{{\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}}dx}+C\right)}$

積分すると

${\displaystyle y=e^{-\log x}\left({\displaystyle \int x{e}^{\log x}dx}+C\right)}$

${\displaystyle e^{\log F\left(x\right)}=F\left(x\right)}$となるので

${\displaystyle y=\frac{1}{x}\left({\displaystyle \int x^{2}dx}+C\right)}$

${\displaystyle y=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{3}{x}^3+C\right)}$

よって

${\displaystyle y=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{C}{x}}$

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最終更新日： 2023年6月19日

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