線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{'} - (e^{x^{2}} + 2 x y + y) = 0$

$y = - e^{x^{2}} + C e^{x^{2}} e^{x}$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

$y^{'} + P (x) y = Q (x)$

一般解

$y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)$

$y' - (e^{x^{2}} + 2 x y + y) = 0$ 　・・・(１)

(1)式を整理する．

$y^{'} - (e^{x^{2}} + 2 x y + y) = 0$

$y^{'} - e^{x^{2}} - 2 x y - y = 0$

$y^{'} - 2 x y - y = e^{x^{2}}$

$y^{'} - (2 x + 1) y = e^{x^{2}}$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

$y^{'} + P (x) y = Q (x)$

の一般解は

$y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)$

このことを利用すると，(2)の一般解は次のような式で求まる．

$y = e^{\int (2 x + 1) d x} (\int e^{x^{2}} e^{- \int (2 x + 1) d x} d x + C)$

積分すると

$y$ $= e^{(x^{2} + x)} (\int e^{x^{2}} e^{- (x^{2} + x)} d x + C)$

$= e^{x^{2}} e^{x} (\int e^{x^{2}} e^{- x^{2}} e^{- x} d x + C)$

$= e^{x^{2}} e^{x} (\int e^{- x} d x + C)$

$= e^{x^{2}} e^{x} (- e^{- x} + C)$

$= - e^{x^{2}} + C e^{x^{2}} e^{x}$

$= - e^{x^{2}} + C e^{x^{2} + x}$

最終更新日： 2023年6月20日