問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

線形微分方程式に関する問題

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x}{1-x^2}dx}}$　･･････(＊)

■答

${\displaystyle \log \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

■ヒント

${\displaystyle 1-x^2=t}$  とおき，置換積分をする

■解き方

${\displaystyle 1-x^2=t}$  とおき，置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2x}$  →${\displaystyle xdx=-\frac{1}{2}dt}$

以上を(＊)に代入すると

${\displaystyle \int \left(-\frac{1}{2t}\right)dt}$  

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\log \left|t\right|+C}$　　　(${\displaystyle C}$ は積分定数)

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\log \left|1-x^2\right|+C}$

${\displaystyle =\log {\left|1-x^2\right|}^{-\frac{1}{2}}+C}$　(対数の性質より)

${\displaystyle =\log \frac{1}{\sqrt{\left|1-x^2\right|}}+C}$ 　　　

 

 

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最終更新日： 2023年6月20日

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