微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$f (x) = \frac{4 x^{2} - 1}{(2 x + 1) (x - 1)}$ $f (x) = \frac{4 x^{2} - 1}{(2 x + 1) (x - 1)}$

■動画解説

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■答

$f^{'} (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ $f^{'} (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

■ヒント

関数の積の微分，分数関数の微分Ⅱより

${\frac{h (x)}{g (x)}}^{'} = \frac{h^{'} (x) g (x) - h (x) g^{'} (x)}{g {(x)}^{2}}$ ${\frac{h (x)}{g (x)}}^{'} = \frac{h^{'} (x) g (x) - h (x) g^{'} (x)}{g {(x)}^{2}}$

の公式を用いる．

■解説

$f (x) = \frac{4 x^{2} - 1}{(2 x + 1) (x - 1)}$ $f (x) = \frac{4 x^{2} - 1}{(2 x + 1) (x - 1)}$

$f^{'} (x)$ $f^{'} (x)$ $= \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{'} (2 x + 1) (x - 1) - (4 x^{2} - 1) {(2 x + 1) (x - 1)}^{'}}{{(2 x + 1) (x - 1)}^{2}}$ $= \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{'} (2 x + 1) (x - 1) - (4 x^{2} - 1) {(2 x + 1) (x - 1)}^{'}}{{(2 x + 1) (x - 1)}^{2}}$

(分数関数の微分Ⅱを参照)

$= \frac{8 x (2 x + 1) (x - 1) - (4 x^{2} - 1) (4 x - 1)}{{(2 x + 1) (x - 1)}^{2}}$ $= \frac{8 x (2 x + 1) (x - 1) - (4 x^{2} - 1) (4 x - 1)}{{(2 x + 1) (x - 1)}^{2}}$

(関数の積の微分より， ${\{(2 x + 1) (x - 1)\}}^{'}$ ${\{(2 x + 1) (x - 1)\}}^{'}$ $= {(2 x + 1)}^{'} (x - 1) + (2 x + 1) {(x - 1)}^{'}$ $= {(2 x + 1)}^{'} (x - 1) + (2 x + 1) {(x - 1)}^{'}$ ）

$= \frac{8 x (2 x^{2} - x - 1) - (16 x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 1)}{{(2 x + 1) (x - 1)}^{2}}$ $= \frac{8 x (2 x^{2} - x - 1) - (16 x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 1)}{{(2 x + 1) (x - 1)}^{2}}$

$= - \frac{(4 x^{2} + 4 x + 1)}{{\{(2 x + 1) (x - 1)\}}^{2}}$ $= - \frac{(4 x^{2} + 4 x + 1)}{{\{(2 x + 1) (x - 1)\}}^{2}}$ $= - \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{{\{(2 x + 1) (x - 1)\}}^{2}}$ $= - \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{{\{(2 x + 1) (x - 1)\}}^{2}}$ $= - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ $= - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

■別解

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年3月28日

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