微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = {sin}^{- 1} 2 x$ $y = {sin}^{- 1} 2 x$

$y^{'} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ $y^{'} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

$y = {sin}^{- 1} 2 x$ $y = {sin}^{- 1} 2 x$

$y^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \cdot {(2 x)}^{'}$ $y^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \cdot {(2 x)}^{'}$

$= \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 2$ $= \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 2$

$= \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ $= \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

$y = f (u) = \sin^{- 1} u$ $y = f (u) = \sin^{- 1} u$ ， $u = g (x) = 2 x$ $u = g (x) = 2 x$ と考えて合成関数の微分の公式を用いて計算している．

逆関数の微分の公式 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$ $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$ を用いる．

$y = {sin}^{- 1} 2 x$ $y = {sin}^{- 1} 2 x$ ･･････(1)

(1)を $\sin$ $\sin$ を使って表すと

$\sin y = 2 x$ $\sin y = 2 x$ ここを参照　･･････(2)

となる．(2)を $x$ $x$ について解く．

$x = \frac{1}{2} \sin y$ $x = \frac{1}{2} \sin y$ ･･････(3)

となる．(3)を $x$ $x$ に関して微分する．

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cos y$ $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cos y$ $\sin$ $\sin$ の微分を参照

$= \frac{1}{2} \sqrt{1 - \sin^{2} y}$ $= \frac{1}{2} \sqrt{1 - \sin^{2} y}$ ･･････(4)

逆関数の微分の公式を適用する．

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$ $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$ ･･････(5)

(5)を(4)に代入する．

$= \frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{1 - \sin^{2} y}}$ $= \frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{1 - \sin^{2} y}}$ ･･････(6)

(6)に(2)代入する．

$= \frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}$ $= \frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}$

$= \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ $= \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年2月21日