微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}}$ $y = \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}}$

■解説動画

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■答

$y^{'} = - \frac{{(5 x + 1)}^{4} (35 x^{3} + 12 x^{2} + 100)}{{(x^{3} - 4)}^{5}}$ $y^{'} = - \frac{{(5 x + 1)}^{4} (35 x^{3} + 12 x^{2} + 100)}{{(x^{3} - 4)}^{5}}$

■ヒント

対数微分法を用いる．

■解説

$y = \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}}$ $y = \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}}$

対数微分法を用いて計算する．両辺の絶対値の自然対数をとると

$log | y | = log | \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}} |$ $log | y | = log | \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}} |$

となる．微分しやすいように右辺を式変形する．

$= log \frac{|{(5 x + 1)}^{5}|}{|{(x^{3} - 4)}^{4}|}$ $= log \frac{|{(5 x + 1)}^{5}|}{|{(x^{3} - 4)}^{4}|}$

$= log | {(5 x + 1)}^{5} | - log | {(x^{3} - 4)}^{4} |$ $= log | {(5 x + 1)}^{5} | - log | {(x^{3} - 4)}^{4} |$ ∵対数の性質： ${log}_{a} \frac{R}{S} = {log}_{a} R - {log}_{a} S$ ${log}_{a} \frac{R}{S} = {log}_{a} R - {log}_{a} S$

$= \log {|(5 x + 1)|}^{5} - \log {|(x^{3} - 4)|}^{4}$ $= \log {|(5 x + 1)|}^{5} - \log {|(x^{3} - 4)|}^{4}$

$= 5 log | 5 x + 1 | - 4 log | x^{3} - 4 |$ $= 5 log | 5 x + 1 | - 4 log | x^{3} - 4 |$ ∵対数の性質： ${log}_{a} R^{t} = t {log}_{a} R$ ${log}_{a} R^{t} = t {log}_{a} R$

両辺を $x$ $x$ で微分する．

$\frac{d}{d x} log y$ $\frac{d}{d x} log y$ $= \frac{d}{d x} (5 \log |5 x + 1| - 4 \log |x^{3} - 4|)$ $= \frac{d}{d x} (5 \log |5 x + 1| - 4 \log |x^{3} - 4|)$

左辺の微分はここを，右辺の微分はここを参照

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 5 \cdot \frac{5}{5 x + 1} - 4 \cdot \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 4}$ $\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 5 \cdot \frac{5}{5 x + 1} - 4 \cdot \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 4}$

両辺に $y$ $y$ を掛けて式を整理する.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot (\frac{25}{5 x + 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{3} - 4})$ $\frac{d y}{d x} = y \cdot (\frac{25}{5 x + 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{3} - 4})$

$= \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}} (\frac{25}{5 x + 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{3} - 4})$ $= \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}} (\frac{25}{5 x + 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{3} - 4})$

$= \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}} {\frac{25 (x^{3} - 4) - 12 x^{2} (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x^{3} - 4)}}$ $= \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}} {\frac{25 (x^{3} - 4) - 12 x^{2} (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x^{3} - 4)}}$

$= \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}} {- \frac{35 x^{3} + 12 x^{2} + 100}{(5 x + 1) (x^{3} - 4)}}$ $= \frac{{(5 x + 1)}^{5}}{{(x^{3} - 4)}^{4}} {- \frac{35 x^{3} + 12 x^{2} + 100}{(5 x + 1) (x^{3} - 4)}}$

$= - \frac{{(5 x + 1)}^{4} (35 x^{3} + 12 x^{2} + 100)}{{(x^{3} - 4)}^{5}}$ $= - \frac{{(5 x + 1)}^{4} (35 x^{3} + 12 x^{2} + 100)}{{(x^{3} - 4)}^{5}}$

●別解

関数の商の微分の公式を使って計算する．

$y^{'} = \frac{{{(5 x + 1)}^{5}}^{'} {(x^{3} - 4)}^{4} - {(5 x + 1)}^{5} {{(x^{3} - 4)}^{4}}^{'}}{{{(x^{3} - 4)}^{4}}^{2}}$ $y^{'} = \frac{{{(5 x + 1)}^{5}}^{'} {(x^{3} - 4)}^{4} - {(5 x + 1)}^{5} {{(x^{3} - 4)}^{4}}^{'}}{{{(x^{3} - 4)}^{4}}^{2}}$

$= \frac{{25 {(5 x + 1)}^{4}} {(x^{3} - 4)}^{4} - {(5 x + 1)}^{5} {12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3}}}{{(x^{3} - 4)}^{8}}$ $= \frac{{25 {(5 x + 1)}^{4}} {(x^{3} - 4)}^{4} - {(5 x + 1)}^{5} {12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3}}}{{(x^{3} - 4)}^{8}}$

$= \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} {(x^{3} - 4)}^{4} - 12 x^{2} {(5 x + 1)}^{5} {(x^{3} - 4)}^{3}}{{(x^{3} - 4)}^{8}}$ $= \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} {(x^{3} - 4)}^{4} - 12 x^{2} {(5 x + 1)}^{5} {(x^{3} - 4)}^{3}}{{(x^{3} - 4)}^{8}}$

$= \frac{{(5 x + 1)}^{4} {(x^{3} - 4)}^{3} {25 (x^{3} - 4) - 12 x^{2} (5 x + 1)}}{{(x^{3} - 4)}^{8}}$ $= \frac{{(5 x + 1)}^{4} {(x^{3} - 4)}^{3} {25 (x^{3} - 4) - 12 x^{2} (5 x + 1)}}{{(x^{3} - 4)}^{8}}$

$= \frac{{(5 x + 1)}^{4} (25 x^{3} - 100 - 60 x^{3} - 12 x^{2})}{{(x^{3} - 4)}^{5}}$ $= \frac{{(5 x + 1)}^{4} (25 x^{3} - 100 - 60 x^{3} - 12 x^{2})}{{(x^{3} - 4)}^{5}}$

$= - \frac{{(5 x + 1)}^{4} (35 x^{3} + 12 x^{2} + 100)}{{(x^{3} - 4)}^{5}}$ $= - \frac{{(5 x + 1)}^{4} (35 x^{3} + 12 x^{2} + 100)}{{(x^{3} - 4)}^{5}}$

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月21日

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