問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\tan 2x}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}}$

■ヒント

tanxの微分と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle y=\tan 2x}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}2x}·{\left(2x\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =\frac{2}{{\cos }^{2}2x}}$

（${\displaystyle y=\tan u=f(u)}$ ，${\displaystyle u=2x=g(x)}$ と考えている．）

●${\displaystyle \tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}}$ と書き変えて計算する場合

${\displaystyle {\left(\tan x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$ を忘れている場合は，三角関数の相互関係を利用して(1)のように式を書き変えて微分する，

${\displaystyle y=\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}}$　･･････(1)

${\displaystyle y^{\prime }={\left(\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\right)}^{\prime }}$

商の微分の公式を適用して

${\displaystyle =\frac{{\left(\sin 2x\right)}^{\prime }\cos 2x-\sin 2x{\left(\cos 2x\right)}^{\prime }}{{\left(\cos 2x\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{2\cos 2x\cos 2x-\sin 2x\left(-2\sin 2x\right)}{{\cos }^{2}2x}}$

${\displaystyle =\frac{2\left({\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x\right)}{{\cos }^{2}2x}}$

${\displaystyle =\frac{2\cdot 1}{{\cos }^{2}2x}}$

${\displaystyle =\frac{2}{{\cos }^{2}2x}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年7月12日

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