問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\log \left(\tan \frac{x}{2}\right)}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{\sin x}}$

■ヒント

${\displaystyle \log x}$の微分と ${\displaystyle \tan x}$の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle u=\tan \frac{x}{2}}$とおくと ${\displaystyle y=\log u}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{u}·\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}·\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}}$

ここで ${\displaystyle \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}$を代入する

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}·\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}·\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}$

ここで 2倍角の公式を使う

${\displaystyle =\frac{1}{\sin x}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日

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