問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

第2次導関数まで増減表に関する問題

■問題

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-3x}$ の第2次導関数までの増減表を作成し，極値と変曲点を求めよ．

■答

関数

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-3x}$ 　･･････(1)

の導関数を求める．

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3}$　･･････(2)

第2次導関数を求める．

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)=6x}$　･･････(3)

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ となる $x$ の値を求める.

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=0}$

${\displaystyle 3\left(x^2-1\right)=0}$

${\displaystyle 3\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0}$

よって

${\displaystyle x=-1,1}$

となる．

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)=0}$ となる $x$ の値を求める．

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)=6x=0}$

よって

${\displaystyle x=0}$

となる．

${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-3x\right)}$ ${\displaystyle =\underset{x\to -\infty }{\lim }x\left(x^2-3\right)}$ ${\displaystyle =-\infty }$

${\displaystyle f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-3\left(-1\right)}$ ${\displaystyle =-1+3}$ ${\displaystyle =2}$

${\displaystyle f\left(0\right)={\left(0\right)}^3-3\left(0\right)}$ ${\displaystyle =0+0}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle f\left(1\right)=1^3-3\cdot 1}$ ${\displaystyle =1-3}$ ${\displaystyle =-2}$

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^3-3x\right)}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }x\left(x^2-3\right)}$ ${\displaystyle =\infty }$

以上より，増減表を作成する．

増減表より

$x=-1$ のとき極大値 $2$， $x=1$ のとき極小値 $-2$， 変曲点 $\left(0,0\right)$

となる．

●参考

増減表と対比できるように $f\left(x\right)$ ， $f^{\prime }\left(x\right)$ ， $f^{″}\left(x\right)$ のグラフを示す．

　

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最終更新日： 2024年7月23日

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