第2次導関数まで増減表に関する問題

■問題

関数 $f (x) = e^{- x^{2}}$ の第2次導関数までの増減表を作成し，極値と変曲点を求めよ．

関数

$f (x) = e^{- x^{2}}$ 　･･････(1)

の導関数を求める．

$f {(x)}^{'} = e^{- x^{2}} {(- x^{2})}^{'} = - 2 x e^{- x^{2}}$ 　･･････(2)

第2次導関数を求める．

$f {(x)}^{″} = {(- 2 x)}^{'} e^{- x^{2}} - 2 x {(e^{- x^{2}})}^{'}$

$= - 2 e^{- x^{2}} - 2 x (- 2 x e^{- x^{2}})$

$= - 2 e^{- x^{2}} + 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

$= 2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1)$ 　･･････(3)

$f^{'} (x) = 0$ となる $x$ の値を求める.

$f {(x)}^{'} = - 2 x e^{- x^{2}} = 0$

$e^{- x^{2}} > 0$

よって

$x = ０$

となる．

$f^{″} (x) = 0$ となる $x$ の値を求める．

$f {(x)}^{' '} = 2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

$e^{- x^{2}} > 0$

よって

$2 x^{2} - 1 = 0$ ， $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

となる．

$f (- \frac{1}{\sqrt{2}}) = e^{- {(- \frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}}$ $= e^{- \frac{1}{2}}$ $= \frac{1}{\sqrt{e}}$

$f (0) = e^{- 0^{2}} = e^{0} = 1$

$f (\frac{1}{\sqrt{2}}) = e^{- {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}}$ $= e^{- \frac{1}{2}}$ $= \frac{1}{\sqrt{e}}$

$\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = \lim_{x \to \pm \infty} e^{- x^{2}}$ $= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{e^{x^{2}}} = 0$

以上より，増減表を作成する．

増減表より

$x = 0$ のとき極大値 $1$ ，変曲点 $(- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}})$ と $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}})$

となる．

増減表と対比できるように $f (x)$ ， $f^{'} (x)$ ， $f^{″} (x)$ のグラフを示す．

最終更新日： 2024年7月23日