基本的な行列の問題

■問題

以下の行列の成分は実数とする．

$A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ ， $B = (\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix})$ とし， $X = A B$ ， $Y = B A$ ， $X^{2} = O$ とする．

(1) $X$ と $Y$ はいずれも逆行列をもたないことを示せ．

(2) $Y^{2} = O$ であることを示せ．

■ヒント

逆行列をもたないことを示すには，行列式の値がゼロであることを示せばよい(参考).

$|A B| = |A| |B|$ の関係式も使える．

■解答

(1)

$X^{2} = O$ より

$|X^{2}| = |O|$

$|X X| = 0$

$|X| |X| = 0$

${|X|}^{2} = 0$

よって

$|X| = 0$ 　･･････(i)

また， $Y = B A$

$|Y| = |B A| = |B| |A| = |A| |B|$ $= |A B|$ $= |X|$ $= 0$

すなわち

$|Y| = 0$ 　･･････(ii)

(i)，(ii)から， $X$ と $Y$ はいずれも逆行列をもたない．

(2)

$X$ $= A B$ $= (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} a e + b g & a f + b h \\ c e + d g & c f + d h \end{matrix})$

$Y$ $= B A$ $= (\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}) (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} a e + c f & b e + d f \\ a g + c h & b g + d h \end{matrix})$

2つの行列X，Yにケーリー・ハミルトンの定理を利用して，(1)の(i)，(ii)を用いると，次の等式が成り立つ．

$X^{2} - (a e + b g + c f + d h) X$ $+ \{(a e + b g) (c f + d h) - (a f + b h) (c e + d g)\} E = O$

$X^{2} - (a e + b g + c f + d h) X + |X| E = O$

$X^{2} - (a e + b g + c f + d h) X = O$ 　･･････(iii)

$Y^{2} - (a e + c f + b g + d h) Y$ $+ \{(a e + c f) (b g + d h) - (b e + d f) (a g + c h)\} E = O$

$Y^{2} - (a e + c f + b g + d h) Y + |Y| E = O$

$Y^{2} - (a e + c f + b g + d h) Y = O$ 　･･････(iv)

$X^{2} = O$ と(iii)より

$- (a e + b g + c f + d h) X = O$

がえられる.この関係式より

$a e + b g + c f + d h = 0$ あるいは $X = O$

となる．

$a e + b g + c f + d h = 0$ の場合，(iv)より

$Y^{2} = O$

$X = O$ の場合

$X = (\begin{matrix} a e + b g & a f + b h \\ c e + d g & c f + d h \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$

となり

$a e + b g + c f + d h = 0$

が成り立つ．したがって

$Y^{2} = O$

となる．

以上より

$Y^{2} = O$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日