基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組が1次従属となるような $t$ の値(整数)を求めよ．

$(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ t \\ 0 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ t \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} t \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 2 \\ t \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \in R^{4}$

■計算

$|\begin{matrix} 1 & 0 & t & 2 \\ 2 & 1 & 0 & t \\ t & 2 & 1 & 0 \\ 0 & t & 2 & 1 \end{matrix}| \neq 0$ の時(定理)は1次独立となってしまうので，1次従属となるときは $|\begin{matrix} 1 & 0 & t & 2 \\ 2 & 1 & 0 & t \\ t & 2 & 1 & 0 \\ 0 & t & 2 & 1 \end{matrix}| = 0$ (定理)である．

$|\begin{matrix} 1 & 0 & t & 2 \\ 2 & 1 & 0 & t \\ t & 2 & 1 & 0 \\ 0 & t & 2 & 1 \end{matrix}|$ $= |\begin{matrix} 1 & 0 & t & 2 \\ 0 & 1 & - 2 t & t - 4 \\ 0 & 2 & 1 - t^{2} & - 2 t \\ 0 & t & 2 & 1 \end{matrix}|$

$= |\begin{matrix} 1 & - 2 t & t - 4 \\ 2 & 1 - t^{2} & - 2 t \\ t & 2 & 1 \end{matrix}|$

$= |\begin{matrix} 1 & - 2 t & t - 4 \\ 0 & - t^{2} + 4 t + 1 & - 4 t + 8 \\ 0 & 2 t^{2} + 2 & {- t}^{2} + 4 t + 1 \end{matrix}|$

$= |\begin{matrix} - t^{2} + 4 t + 1 & - 4 t + 8 \\ 2 t^{2} + 2 & - t^{2} + 4 t + 1 \end{matrix}|$

$= {(- t^{2} + 4 t + 1)}^{2} -$ $(- 4 t + 8) (2 t^{2} + 2)$

$= t^{4} - 4 t^{3} - t^{2} - 4 t^{3} + 16 t^{2}$ $+ 4 t - t^{2} +$ $4 t + 1$ $+ 8 t^{3} - 16 t^{2} + 8 t - 16$

$= t^{4} - 2 t^{2} + 16 t - 15$

$= (t - 1) (t + 3) (t^{2} - 2 t + 5)$

$= 0$

になればよい．

しかし，この問題では整数を求めたいので， $t = 1, - 3$ が解となる．

よって， $t = 1, - 3$ の時に1次従属となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日