問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

行列の対角化

■問題

  A= ( 4 3 2 1 ) を行列 P を用いて対角化せよ.

■答

P= 1 3 1 2 のとき P 1 AP= ( 1 0 0 2 )

P= 3 1 2 1 のとき P 1 AP= ( 2 0 0 1 )

行列 A を対角化するための行列 P は他にも多くある.

■計算

Ax= λx より, (AλE) x= 0  ・・・・・・(1)

ここで

Τ= AλE = ( 4 3 2 1 ) ( λ 0 0 λ ) = ( 4λ 3 2 1λ )

とおく.

与式は,自明な解( x=0 ) 以外の解をもつので,

| Τ |= | AλE |   = | 4λ 3 2 1λ |=0

(4λ)(1λ)+6=0 ,  λ 2 3λ+2=0

(λ1)(λ2)=0

λ1,2

(i) λ=1 のとき,固有ベクトル x 1 = α 1 α 2 とおくと,(1)は

( 3 3 2 2 )( α 1 α 2 )= ( 0 0 )

となり

α 1 α 2 =0 α 1 = α 2

となる.

α 1 = α 2 = k 1 とおくと

x 1 = α 1 α 2 = k 1 1 1

(ii) λ=2 のとき,固有ベクトル x 2 = β 1 β 2 とおくと,(1)は

( 2 3 2 3 )( β 1 β 2 )= ( 0 0 )

となり

2 β 1 3 β 2 =0 2 β 1 =3 β 2

となる.

β 1 = 3 k 2 とおくと,   β 2 = 2 k 2

x 2 = β 1 β 2 = k 2 3 2

(i)(ii)より, x 1 = 1 1 は固有値 λ 1 =1 の固有ベクトル, x 2 = 3 2 は固有値 λ 2 =2 の固有ベクトルである.

対角化可能であるための条件その1その2より行列 A

P= x 1 x 2 = 1 3 1 2

で対角化可能で

P 1 AP= λ 1 0 0 λ 2 = 1 0 0 2

となる.

P= x 2 x 1 = 3 1 2 1

とすると

P 1 AP= λ 2 0 0 λ 1 = 2 0 0 1

となる.

 

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最終更新日: 2023年2月10日

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