偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$z = \sqrt{3 x - 4 y}$ $z = \sqrt{3 x - 4 y}$

■答

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3}{2 \sqrt{3 x - 4 y}}$ $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3}{2 \sqrt{3 x - 4 y}}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{2}{\sqrt{3 x - 4 y}}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{2}{\sqrt{3 x - 4 y}}$

■ヒント

平方根を累乗根の指数形である ${(3 x - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ ${(3 x - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ に変形し，合成関数の微分を行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

平方根を累乗根の指数に変形する．
指数が有理数の場合も参照．

$z$ $z$ $= \sqrt{3 x - 4 y}$ $= \sqrt{3 x - 4 y}$ $= {(3 x - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ $= {(3 x - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$

$u = 3 x - 4 y$ $u = 3 x - 4 y$ とおくと，

$z = u^{\frac{1}{2}}$ $z = u^{\frac{1}{2}}$

微分する．

$\frac{d z}{d u}$ $\frac{d z}{d u}$ $= \frac{1}{2} \cdot u^{\frac{1}{2} - 1}$ $= \frac{1}{2} \cdot u^{\frac{1}{2} - 1}$

$= \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}$ $= \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}$

$= \frac{1}{2 \sqrt{u}}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{u}}$ (指数が有理数の場合も参照．)

偏導関数の定義より， $y$ $y$ を定数とみなして $x$ $x$ で微分する．

$\frac{\partial u}{\partial x}$ $\frac{\partial u}{\partial x}$ $= 3 \cdot 1 \cdot x^{1 - 1}$ $= 3 \cdot 1 \cdot x^{1 - 1}$ $= 3$ $= 3$

$\frac{d z}{d u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$ $\frac{d z}{d u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 3$ $= \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 3$

$u = 3 x - 4 y$ $u = 3 x - 4 y$ を代入する．

$\frac{\partial z}{\partial x}$ $\frac{\partial z}{\partial x}$ $= \frac{3}{2 \sqrt{3 x - 4 y}}$ $= \frac{3}{2 \sqrt{3 x - 4 y}}$

偏導関数の定義より， $x$ $x$ を定数とみなして $y$ $y$ で微分する．

$\frac{\partial u}{\partial y}$ $\frac{\partial u}{\partial y}$ $= - 4 \cdot 1 \cdot y^{1 - 1}$ $= - 4 \cdot 1 \cdot y^{1 - 1}$ $= - 4$ $= - 4$

$\frac{d z}{d u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$ $\frac{d z}{d u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot (- 4)$ $= \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot (- 4)$

$u = 3 x - 4 y$ $u = 3 x - 4 y$ を代入する．

$\frac{\partial z}{\partial y}$ $\frac{\partial z}{\partial y}$ $= - \frac{2}{\sqrt{3 x - 4 y}}$ $= - \frac{2}{\sqrt{3 x - 4 y}}$

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最終更新日： 2023年8月24日