偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$z = 2 sin \sqrt{x y}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \sqrt{\frac{y}{x}} \cos \sqrt{x y}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = \sqrt{\frac{x}{y}} \cos \sqrt{x y}$

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分の際は $sin x$ の微分の公式を用いる．

偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．
$sin x$ の微分の公式を用いる．

$\frac{\partial z}{\partial x}$ $= 2 \cos \sqrt{x y} \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x y}$

$= 2 {\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot y} cos \sqrt{x y}$

$= \frac{y}{\sqrt{x y}} cos \sqrt{x y}$

$= \sqrt{\frac{y}{x}} \cos \sqrt{x y}$

偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．
$sin x$ の微分の公式を用いる．

$\frac{\partial z}{\partial y}$ $= 2 \cos \sqrt{x y} \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{x y}$

$= 2 {\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot x} cos \sqrt{x y}$

$= \frac{x}{\sqrt{x y}} cos \sqrt{x y}$

$= \sqrt{\frac{x}{y}} \cos \sqrt{x y}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日